Всем доброго времени суток!

Не так давно в голову пришли довольно интересные идеи задач по геометрии, но сколько я не пытался, подступиться никак не получалось. Поэтому напишу их тут, в надежде, что кто-нибудь поможет или подскажет возможно интересный факт необходимый для их решения. Не исключаю что некоторые из задач могут быть вполне себе баянами, но...

Задача 1. Дана окружность радиусом $$$r$$$ и массив целых чисел длины $$$n$$$. Нужно сказать, существует ли такой многоугольник, длины сторон которого в порядке обхода представляют из себя этот самый массив, и при этом окружность радиуса $$$r$$$ можно было бы полностью поместить внутрь него(то есть любая точка внутри окружности лежала бы внутри или на границе многоугольника).

Задача 2.(Очевидно сводится к первой задаче через бинпоиск, но возможно есть не связанный с этим метод решения) Для заданного массива целых чисел длины $$$n$$$ найти максимальный радиус $$$r$$$ окружности, что существует многоугольник, длины сторон которого в порядке обхода являются этим массивом и эта окружность полностью в него помещается.

Задача 3. Аналогично задаче 2, но пусть у нас есть возможность изменить одно любое значение в массиве на произвольное (возможно нецелое) число, чтобы многоугольник при этом остался невырожденным. Опять же требуется максимизировать $$$r$$$.

Задача 4. Не связана с предыдущими. На плоскости есть набор из $$$n \geq 3$$$ точек. Разрешается не более $$$k$$$ раз выполнить следующую операцию: выбрать две точки из набора и повернуть одну относительно другой на произвольный угол. Требуется максимизировать площадь выпуклой оболочки получившегося множества точек.

Задача 5.Аналогична задаче 4, но выбираем не две точки, а отрезок(с концами в точках из набора) и точку из набора(возможно совпадающую с концом отрезка) и поворачиваем отрезок относительно точки на любой угол. Опять же надо максимизировать площадь выпуклой оболочки получившегося множества точек.