Блог пользователя RodionGork

Ещё задача на теорию вероятностей
Автор RodionGork, 13 лет назад, По-русски

Ещё одна старая задача на теорию вероятностей. Немного видоизменю её чтоб гугловому поиску не мешала.

В кабачке на Марсе зелёные человечки имеют возможность сыграть в простую азартную игру. Крупье бросает 6 одинаковых игральных костей в форме додекаэдров (правильный 12-гранник с 5-угольными гранями). Каждый из играющих перед этим загадывает одно из чисел, присутствующих на гранях (скажем, от 0 до 11). Если загаданное игроком число не выпало ни на одной кости, он платит крупье 1 евро (да-да, и туда добрались!), в противном случае крупье сам платит игроку столько евро, на скольки костях выпало загаданное число (т.е. от 1 до 6).

Определить требуется, конечно, матожидание выигрыша крупье после того как он сыграл, скажем, с миллионом желающих. Кости совершенно честные (т.е. каждая грань выпадает с равной вероятностью 1/12).

Более простой вопрос - кто на ваш взгляд будет выигрывать (при большом числе игр) - крупье или игроки.

  • Проголосовать: нравится
  • 0
  • Проголосовать: не нравится

13 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Матожидание выигрыша крупье в одной игре будет (11/12)^12-1/2, то есть примерно -0.148

→ Ответить
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится
    (11/12)^6-1/2, нет? И тогда крупье оказывается в плюсе.
    → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
      ← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Красные разделились во мнениях... Стало быть задача не слишком тупая и не слишком известная... ;-)

      Правда первый ответ похож на то что условие неправильно понято... Второй по-моему тож неправильный.

      Вы заодно уточняйте, имеете ли в виду м.о. выигранных игр или выигранных денег. Я подразумевал второе.
      → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        У меня тоже получилось (11/12)^6-1/2 (это для одной игры, для миллиона игр надо еще на 10^6 умножить). Даже могу обосновать. Сначала посчитаем отдельно мат ожидание выигрыша и мат ожидание проигрыша, потом сложим. Проигрыш - крупье выплачивает количество совпадений. Понятно, что броски тут вообще независимы, поэтому просто 6 раз кидаем кость и каждый раз отдаем 1/12, т.е. суммарно 6*1/12 = 1/2 евро. Теперь выигрыш - вероятность этого события (11/12)^6, каждый раз проигрываем 1 евро, т.е. мат ожидание (11/12)^6 евро.
        Ну теперь сложим с учетом знака.
        → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Да, точняк, там 6 должно быть)
      → Ответить
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Там же 6 костей. Тоже 1/2 - (11/12)^6 для игрока.
    → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Не, друзья, так считать нехорошо... Размер выигрыша надо учитывать, а то этак у вас и на рулетке матожидание выигрыша чела, который поставил на какое-то число получится 1/37 вместо 35/37...
      → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        размер выигрыша как раз учтен
        → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        Если взять SUM_i (i * C(6, i) * (1/12)**i * (11/12) ** (6- i)) для i из отрезка [1,6], то получится 1/2. i --- это значение случайной величины, остальное --- Pr[x = i]. В (11/12)^6 просто опущена единица.
        → Ответить
13 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

м.о. выигрыша - 0 евро.
→ Ответить
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Эм.

(11/12)^6-6*(1/12)*(11/12)^5-2*C(6,2)*(1/12)^2*(11/12)^4-3*C(6,3)*(1/12)^3*(11/12)^3-4*C(6,4)*(1/12)^4*(11/12)^2-5*6*(1/12)^5*(11/12)-6*(1/12)^6

Видимо как-то так?
→ Ответить
  • 13 лет назад, # ^ |
    ← Rev. 2   Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится
    -6*(1/12)*(11/12)^5-2*C(6,2)*(1/12)^2*(11/12)^4-3*C(6,3)*(1/12)^3*(11/12)^3-4*C(6,4)*(1/12)^4*(11/12)^2-5*6*(1/12)^5*(11/12)-6*(1/12)^6=-1/2
    :)

    → Ответить
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Ну да, так и есть... Или чуть подправим:
    (
    +1*C(6,0)*11^6
    -1*C(6,1)*11^5
    -2*C(6,2)*11^4
    -3*C(6,3)*11^3
    -4*C(6,4)*11^2
    -5*C(6,5)*11^1
    -6*C(6,6)*    11^0
    )
    /12^6
    = 0.093
    → Ответить