Вадим любит делать всё заранее. Например, к зимней сессии он подготовился ещё в сентябре. А сегодня он уже предусмотрительно хочет выбрать новогодний подарок для Маши. По мнению Вадима, лучший подарок — это множество чисел, каждое из которых равно произведению всех своих цифр в десятичной записи. Он даже придумал специальное название для них — «автомультипликативные» числа. Но Маше нравятся только числа, которые лежат в пределах от $$$A$$$ до $$$B$$$. Вадим уже понял, что найти все автомультипликативные числа из заданного интервала не так просто, если Маша выберет большой интервал. Поэтому дальновидный Вадим уже сейчас хочет знать, какое наибольшее количество различных чисел, которые понравятся Маше, он сможет подарить?

Мирас пишет олимпиаду по программированию, и он уже дошёл до задачи $$$B$$$! Но продолжить ему не дают первокурсники, которые пришли к нему просить помощи с упражнением на тему «Форма Бэкуса–Наура» (Backus–Naur Form). Вот условие упражнения:

Дана формула, описывающая множество строк в алфавите $$$\{a, b, c\}$$$: $$$$$$ \lt string \gt ::= \{a | b\} c \{a | b\}$$$$$$ Подсчитать количество строк длины $$$n$$$ в данном множестве слов.

Мирас согласился помочь и уже объяснил условие задачи:

1. Запись $$$\{word\}$$$ обозначает конкатенацию (присоединение) нескольких строк $$$word$$$, то есть $$$$$$\{word\} = word^k,$$$$$$ где $$$k = 0, 1, \dots$$$. Например, $$$\{ab\}$$$ обозначает слова: пустое, $$$ab$$$, $$$abab$$$, $$$ababab$$$ и т.д.
2. Запись $$$word_1 | word_2$$$ обозначает альтернативу из двух вариантов: $$$word_1$$$ или $$$word_2$$$. Например, $$$ab | ba$$$ обозначает одно из двух слов: $$$ab$$$ или $$$ba$$$.

В частности, заданное множество содержит строку $$$baacab$$$. Помогите первокурсникам решить их упражнение, чтобы Мирас не отвлекался и всё-таки сдал задачу $$$B$$$!

Денис решил на один день отказаться от использования всех своих электронных устройств. Не удивительно, что ему сегодня так грустно. Из всех развлечений в его опустевшей комнате остался только один игральный кубик, да и тот без надписей. Денис написал на каждой грани по одному числу от 1 до 9 и начал кидать кубик. Утешением для Дениса может послужить только выпадение его любимого числа $$$s$$$ по сумме всех бросков. Найдите вероятность того, что Денис станет чуточку веселее после $$$n$$$-го броска кубика в этот день проверки силы воли.

Ануар считает себя настоящим фокусником и поэтому всегда носит с собой несколько колод карт. Однако это не простые игральные карты: на каждой карте великого иллюзиониста написана одна строчная буква английского алфавита. Прямо сейчас Ануар показывает Андрею свой самый популярный фокус с телепатией:

1. Ануар записывает магическое слово на бумажке;
2. Андрей выбирает любую из колод;
3. Ануар вытаскивает некоторые карты из выбранной колоды и составляет магическое слово, которое было записано на бумажке.

У Асылжана есть плоская эллиптическая тарелка с полуосями $$$a$$$ и $$$b$$$ неизвестного происхождения. Недавно его посетила гениальная мысль вырезать из своей тарелки новую, в форме выпуклого $$$n$$$-угольника. Естественно, он хочет сделать это так, чтобы новая тарелка имела максимальную площадь (чтобы вмещала как можно больше еды). Найдите площадь новой тарелки Асылжана.

учадазьтишертежомопенотэон,КМВететьлукафанястичувалсидалВ.

Адиль, как полагается нонконформисту, отрицает существование всех известных бинарных операторов (даже $$$\mathbb{XOR}$$$!) и предпочитает пользоваться своими собственными. Среди них есть ещё не известный в широких кругах оператор $$$\mathbb{GOR}$$$, с которым он знакомит всех, кто попадается ему на глаза. Со слов автора, $$$z = x \ \mathbb{GOR} \ y$$$ действует так: $$$$$$z_k = (x_k + y_k) \mod g, $$$$$$ где $$$p_k$$$ — $$$k$$$-я справа цифра в записи числа $$$p$$$ в системе счисления с основанием $$$g$$$. Чтобы убедить весь мир в значимости придуманного им оператора, Адиль готов показать, что может за считанные секунды высчитать $$$\mathbb{GOR}$$$ всех чисел от $$$A$$$ до $$$B$$$. Вот только он оставил свою программу дома, и торжественная презентация под угрозой срыва. Вся надежда только на Вас! Вы ведь сможете спасти положение и написать эту программу?

Надира в своих снах часто бывала в Стране Чудес. Один раз она даже обнаружила себя в каком-то лабиринте, а если точнее, то в северо-западном углу какого-то прямоугольного лабиринта, разделённого на квадратные ячейки. Оказавшаяся рядом Гусеница объяснила, что выход из лабиринта находится в юго-восточном углу, а сама Надира для достижения этого выхода может пользоваться системой кроличьих нор. Система довольно проста: запрыгивая в один конец норы, Надира вылетает из другого конца той же норы. При этом, попадая на клетку с кроличьей норой, она не обязана туда запрыгивать и может пройти мимо. Скажите, получилось ли у Надиры дойти до выхода или она проснулась, так и не узнав, что находится за лабиринтом?

У Ильи и Вики очень разные вкусы. Вика любит перестановки. То есть такие наборы чисел ($$$a_0$$$, $$$a_1$$$, $$$a_2$$$, $$$\dots$$$, $$$a_n$$$), которые являются перестановками чисел (0, 1, 2, $$$\dots$$$, $$$n$$$). Илья же в последнее время в восторге от полных квадратов. Поэтому набор ему интересен, только если $$$a_k+k$$$ является точным квадрат целого числа для любого $$$k = 0, 1, 2, \dots, n$$$. Набор ($$$a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$$$), которые понравятся им обоим, Вика и Илья решили называть интересной перестановкой. Теперь они очень хотят увидеть хотя бы одну интересную перестановку для заданного $$$n$$$.