Чтобы решить эту задачу нужно решить уравнение или прислушаться к своему сердцу.

Найдите корень $$$x$$$ уравнения $$$$$$ \bigg(\sqrt{x-3} - \sqrt[3]{\frac{3x+2}{2}}\bigg)^7 = \bigg(x - \sqrt{\frac{x^2-1984}{5}}\bigg)^3. $$$$$$ Гарантируется, что уравнение имеет единственное целое решение $$$x$$$.

Выход в синий цвет на Codeforces — большой повод для гордости, особенно если тебе десять лет. Пятиклассник Вася недавно вышел в синий цвет, и, в связи с этим, решил реализовать новый сложный алгоритм, который он прочитал на сайте e-maxx. Алгоритм называется «Обратный элемент в кольце по модулю». Суть алгоритма в том, что он позволяет находить обратный элемент в кольце по модулю.

Вася решил реализовать алгоритм и с его помощью сдать задачу на известной платформе для юных программистов — Codeforces. Задача заключалась в следующем: на вход даются два числа: $$$n$$$ и $$$M$$$ ($$$1 \le n \lt M \le 10^9 +7$$$), и нужно вывести одно такое число $$$k$$$, что $$$n \cdot k \equiv 1 (\mod M)$$$; $$$1 \le k \lt M$$$; $$$M$$$ - простое.

Благодаря прочитанной статье Вася знает, что для получения ответа достаточно возвести число $$$n$$$ в $$$M - 2$$$ степень по модулю $$$M$$$, доказательством чего он, конечно, не стал себя утруждать. Вася быстро написал код на эту задачу, но остался обескуражен — его великолепное решение получало WA6. В расстроенных чувствах он удалил код и решил навсегда уйти из спортивного программирования. Однако на следующий день ему не задали домашку и он решил все-таки восстановить свой код, чтобы найти в нем баг.

Помогите Васе восстановить его неправильное решение!

Маленький Лёша учится в шестом классе. Лёша не самый выдающийся ученик, поэтому его интересы весьма специфичны. В частности, он любит смотреть китайские мультики для детей — аниме.

Однажды Лёша решил прогулять школу и посвятить целый день своему любимому занятию — просмотру аниме. Но, внезапно, он обнаружил, что на полке, где он хранит диски с аниме, скопилось много мусора.

На полке находится n предметов. Предметы лежат в ряд, то есть их можно пронумеровать от $$$1$$$ до $$$n$$$. $$$i$$$-ый предмет может быть либо мусором, либо диском с аниме. Лёша помнит, сколько дисков с аниме у него всего было — $$$k$$$, и про $$$i$$$-ый диск он помнит, что он стоял на какой-то позиции между $$$l_i$$$ и $$$r_i$$$, включительно.

Помогите Лёше провести уборку дома и вернуть надежду на светлое будущее.

На сайте БрутФорсез решили провести новый формат командных соревнований: все тесты к задачам открытые, и в одной команде может быть произвольное количество участников. Итоговая добавка к рейтингу, конечно же, поровну разделяется между всеми членами команды.

На первом же контесте организаторы предложили следующую непростую задачу:

«Дана таблица $$$S$$$ размера $$$m \times n$$$. В клетке $$$S_{i, j}$$$ (где $$$1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$$$) написана сумма чисел от $$$1$$$ до $$$i+j$$$. Для заданных чисел $$$a, b$$$ выведите сумму по подтаблице с угловыми клетками $$$S_{1, 1}$$$ и $$$S_{a, b}$$$».

Всего к этой задаче было составлено $$$T$$$ тестов.

Прочитав условие задачи, синий кодер Вася быстро сообразил, как ее решать — если бы мы знали, какое число написано в каждой из клеток, то алгоритмом решения было бы обыкновенное дерево Фенвика!

Дело осталось за малым — надо найти значение в необходимых клетках доски (но не обязательно во всех). Для этого он решил позвать в свою команду нескольких зеленых кодеров, чтобы дать каждому по клетке $$$S_{i, j}$$$ и попросить посчитать число в ней. Так как итоговая добавка к рейтингу поровну делится между членами команды, Вася хочет пригласить как можно меньше кодеров, а потому посчитать числа только в тех клетках, которые нужны для вычисления ответа в хотя бы одном из тестов (то есть, которые содержатся хотя бы в одной подтаблице).

Какое минимальное число кодеров ему надо пригласить в команду, чтобы осуществить задуманное?

Как всем давно известно, граница для красного цвета на ЦФе рассчитывается так, чтобы проходить строго над рейтингом Адаманта. Однако недавно, по ошибке алгоритмов пересчета рейтинга, Адамант все-таки попал в красный. Увидев это, Майк понял, что систему надо срочно чинить. Чтобы решить проблему надолго, он хочет придумать новую систему дивизионов, чтобы Адамант попал в див 2, откуда ему будет снова далеко до красного.

Конечно, идеальным решением было бы просто поставить заглушку if rating $$$\leqslant$$$ adamant.rating then div = max (div, 2) в уже существующую функцию, но это было бы очень подозрительно. Поэтому Майк придумал следующую, достаточно замысловатую, процедуру:

Сперва Майк выбирает целочисленный параметр $$$k \geqslant 0$$$. Затем, он подсчитывает значение функции $$$f = f(r-k, r)$$$, где $$$r$$$ – рейтинг пользователя, а $$$$$$ f(n, x) := (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \dots + x^n/n!)/e^x. $$$$$$ Наконец, дивизион пользователя определяется по формуле div = $$$int(1/f) - 1$$$, где функция $$$int(x)$$$ возвращает максимальное целое число, не превосходящее $$$x$$$. Майк уверен, что в связи с появлением на платформе див 3 и див 4, такая функция будет более честной не только по отношению к Адаманту, но и по отношению вообще ко всем пользователям.

По заданному рейтингу Адаманта, найдите минимальное $$$k$$$, чтобы по описанному алгоритму ему присвоился дивизион, строго больший $$$1$$$.

Будучи экспертом по риторике и NLP, Рудольф много времени проводит на различных форумах и в различных онлайн-обсуждениях. Однако, недавно он узнал про новейшие достижения науки в области искусственного интеллекта и решил разработать алгоритм, который отвечал бы за него на вопросы в интернете, при этом оставляя качество ответов наилучшим возможным.

Рудольф заранее знает, что ему нужно будет ответить ровно на $$$n$$$ вопросов, и поэтому подготавливает $$$n$$$ различных строк — ответы на предстоящие вопросы. Затем, алгоритм получает на вход $$$n$$$ вопросов и должен будет сопоставить вопросы и ответы некоторым образом. Конечно, чтобы остроумность Рудольфа не оказалась под сомнением, каждый из ответов должен быть использован ровно один раз.

Общеизвестный факт, что Рудольф мастер слова и рифмы, а потому искусственный интеллект должен быть достаточно умным, чтобы провести собеседников и выдавать максимально оригинальные и подходящие под ситуацию ответы. Для оценки качества алгоритма Рудольф придумал следующую метрику:

Значение метрики равно сумме значений рифмованности каждой пары вопрос-ответ. Рифмованность одной пары считается следующим образом: из вопроса и ответа удаляются все символы, кроме маленьких латинских букв, и вычисляется длина их наибольшего суффикса. Эта длина и будет значением рифмованности для этой пары.

Вам нужно разработать такой алгоритм, сопоставить вопросы и ответы, и посчитать наибольшее возможное значение метрики. Если возможно несколько ответов, для которых достигается правильная метрика — выведите любой.

За экстраординарные достижения в учебе, Рудольф Вениаминович Готов был единственным, кто после вуза распределился работать в школу учителем математики. В классе, где ведет Рудольф, ровно $$$m$$$ учеников. Урок математики у Рудольфа проходит так. Он раздает листок с $$$n$$$ (где $$$n \geqslant m$$$) задачами. Затем он вызывает учеников к доске, используя генератор случайных чисел. На первом шагу, генератор генерирует число $$$t_1$$$ и Рудольф вызывает первого ученика к доске решать задачу под номером $$$t_1$$$. На втором шагу, генератор генерирует число $$$t_2$$$, и Рудольф вызывает второго ученика решать задачу под номером $$$t_2$$$, и так далее, до $$$m$$$-го ученика. Генератор запрограммирован так, что последовательность $$$t_i$$$ является возрастающей и никогда не превосходит $$$n$$$, то есть, выполнены неравенства $$$$$$ 1 \leqslant t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_m \leqslant n. $$$$$$

Если ученик не может решить задачу у доски, Рудольф Вениаминович дает ему щелбан. Рудольфу Вениаминовичу уже надоело преподавание, поэтому единственной его целью на уроке теперь является раздать каждому ученику по щелбану. Для этого он подобрал ровно $$$m$$$ сложных задач (которые сам не может решить), и хочет перенастроить генератор случайных чисел таким образом, чтобы он генерировал ровно их номера.

Чтобы не вызвать подозрений, Рудольф придумал следующий алгоритм для генератора: тот, получая на вход число $$$n$$$ (то есть, число задач) генерирует числа, имеющие хотя бы один общий делитель с $$$n$$$ — Рудольф уверен, что такая последовательность будет выглядеть самой что ни на есть случайной. Например, для числа $$$n=12$$$ будут сгенерированы числа $$$2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12$$$. Имея такой «случайный» генератор, Рудольф заранее знает, какие числа будут сгенерированы, и может поставить на нужные места в листочке свои сложные задачи. Однако, Рудольф столкнулся с проблемой — не так-то просто оказалось придумать такое число $$$n$$$, что генератор выдаст ровно $$$m$$$ чисел!