Блог пользователя Indialbedo

I found a brilliant math conclusion
Автор Indialbedo, история, 3 года назад, По-английски
$$$\sum_{i=1}^n\sin(ix)=\dfrac{\cos(x/2)-\cos((2n+1)x/2)}{2\sin(x/2)}$$$
$$$\sum_{i=1}^n\sin(ix)=\dfrac{\sin(\frac{n+1}2x)\sin(\frac n 2x)}{\sin(\frac x 2)}$$$

Now I give my proof.

notice that $$$\sin(x)\sin(y)=\frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))$$$

$$$\sum_{i=1}^n\sin(ix)=\dfrac{\sin(x/2)(\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)+\ldots)}{\sin(x/2)}$$$
$$$=\dfrac{\cos(x/2)-\cos(3x/2)+\cos(3x/2)-\cos(5x/2)\ldots+\cos((2n+1)x/2)}{2\sin(x/2)}$$$
$$$=\dfrac{\cos(x/2)-\cos((2n+1)x/2)}{2\sin(x/2)}$$$

inverse $$$\sin(x)\sin(y)=\frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))$$$ to be $$$\cos(a)-\cos(b)=-2\sin(\frac{a+b}2)\sin(\frac{a-b}2)$$$

$$$\text{LHS}=\dfrac{\sin(\frac{n+1}2x)\sin(\frac n 2x)}{\sin(\frac x 2)}$$$

maybe a nice idea! What do u think?

  • Проголосовать: нравится
  • +61
  • Проголосовать: не нравится

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +63 Проголосовать: не нравится

Isn't it taught at high school?

→ Ответить
  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +148 Проголосовать: не нравится

    Sometimes I am grateful, that I don't study in such schools.

    → Ответить
  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +83 Проголосовать: не нравится

    I heard chineseman learn something about it in primary, craaaaaaaazy

    → Ответить
    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      As a Chinese, I can tell you that most of us don't. (a huuuge Orz to any primary school students kicking my butt at math though)

      → Ответить
      • »
        »
        »
        »
        3 года назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +34 Проголосовать: не нравится

        you dont know, Botswana knows

        this is liexiang, do you kno liexiang

        plz support Botswana

        → Ответить
        • »
          »
          »
          »
          »
          3 года назад, # ^ |
            Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

          I do know about 裂项(liexiang), and although in China primary school students do learn about it, it's restricted to fractional kinds, but this one is trig, and we don't even know about the existence of trig until 9th grade...

          → Ответить
          • »
            »
            »
            »
            »
            »
            2 года назад, # ^ |
              Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

            裂项(lièxiàng) in Chinese is translated to telescoping.

            See also: Wikipedia and Section 2.6 in Concrete Mathematics. (IDK why in one Chinese version it was translated into 叠缩)

            → Ответить
  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    not most of the times sir...

    → Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится -11 Проголосовать: не нравится

Random Chinese guy comes and say: 'Well I learnt it when I was six, lol noob' (not me though)

btw this is a pretty neat trig conclusion.

→ Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +125 Проголосовать: не нравится

Yes it's a nice identity though it's fairly standard. You can also use complex numbers to get the same result with $$$\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \text{Im} \sum_{k=1}^{n} e^{i k \theta}$$$

→ Ответить
  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +34 Проголосовать: не нравится

    wow! A even nicer proof, clearer than me!

    → Ответить
    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      It's a very well-known thing in optics when you have rays of light interfering, just with real component (sum of cosines) rather than imaginary.

      → Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +21 Проголосовать: не нравится

Another trigonometric sum I found mildly interesting is,

$$$\sum_{k=0}^{n} 2^k \tan{2^k x} = \cot{x} - 2^{n+1}\cot{2^{n+1} x}$$$

Which comes from, $$$\cot{x} - 2 \cot 2x = \tan x$$$

→ Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится -102 Проголосовать: не нравится

Don't care + didn't ask

→ Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Completely unrelated response:

Spoiler
→ Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

12th class stuff!!

→ Ответить
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +26 Проголосовать: не нравится

If you sum up $$$\cos kx$$$ rather than $$$\sin kx$$$, you'll end up with a family of functions known as the Dirichlet kernel.

Dirichlet kernel has a great importance in the Fourier analysis, as the convolution of any function with $$$n$$$-th Dirichlet kernel will provide the $$$n$$$-th degree Fourier approximation of the function.

I would personally prefer the complex numbers way to compute the sum:

$$$ \sum\limits_{k=1}^n \cos kx + i\sum\limits_{k=1}^n \sin kx = \sum\limits_{k=1}^n e^{ikx} = \frac{e^{ix} - e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}. $$$

Multiplying the numerator and the denominator by $$$e^{-\frac{ix}{2}}$$$ and using $$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$$ formula, we get

$$$ \frac{e^{ix} - e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}} = \frac{i(e^{\frac{ix}{2}} - e^{i(n+\frac{1}{2})x})}{2\sin \frac{x}{2}}. $$$

The real part of the nominator is

$$$ \sin(n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}. $$$

The imaginary part of the nominator is

$$$ \cos \frac{x}{2} - \cos (n+\frac{1}{2})x. $$$

Therefore,

$$$ \sum\limits_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} - \frac{1}{2} $$$

and

$$$ \sum\limits_{k=1}^n \sin kx = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}. $$$
→ Ответить