В начале условия задачи подробно описано, что называется простым числом, и что называется следующим после x простым числом. Суть задачи сводилась к тому, чтобы проверить, является ли m следующим после n простым числом.

Поскольку n гарантированно простое, нужно проверить два случая:

1. Число m является простым, и

2. Между n и m нет других простых чисел

Действительно, если между n и m есть некоторое простое число k, то m уже никак не может быть следующим после n простым. Ограничения в этой задаче небольшие, поэтому решать её можно следующим способом:

где prime(i) - любая возможная проверка числа на простоту.

Другое простое решение этой задачи - учесть тот факт, что ограничения не превышают 50. Можно найти все пары чисел n и m вручную и написать решение в виде серии условий, примерно так:

if (n==2 && m==3) return "YES";
else if (n==3 && m==5) return "YES";
else ...
else if (n==43 && m==47) return "YES";
else return "NO";

Такое решение тоже проходило все тесты.

Первое, на что нужно обратить внимание - при движении одной стрелки другая остаётся неподвижной. Фактически, это означает, что теперь нам нужно решить две подзадачи:

1. Определить, на какой угол повернуть минутную стрелку, и

2. Определить, на какой угол повернуть часовую стрелку

В условии сказано, что стрелки-усы Когсворта двигаются равномерно и непрерывно. Это значит, что при любом, даже очень малом увеличении времени Δt и часовая, и минутная стрелка сдвинутся на некоторые углы.

Поскольку число минут всегда целое благодаря формату HH:MM, то каждая минута будет добавлять ровно 360 / 60 = 6 градусов. В свою очередь, на угол поворота часовой стрелки влияет и количество часов, и количество минут. Каждый полный час будет добавлять 360 / 12 = 30 градусов, а каждая минута - (360 / 12) / 60 = 0.5 градусов.

Таким образом, нужно суметь вырезать из первоначальной записи HH:MM количество часов и количество минут, после чего применить описанные выше формулы для нахождения ответа.

Также нужно обратить внимание, что аналоговые часы не различают время до полудня и после полудня, поэтому ответы для 08:15 и 20:15 будут совпадать.

Поскольку героев всего k = 7, а групп три, то задачу можно решать полным перебором. Для этого рассмотрим все случаи размещения героев в каждой из трёх групп и выкинем из рассмотрения некорректные разбиения - такие, при которых хотя бы одна группа оказывается пустой.

В каждом из корректных разбиений найдём значения обоих критериев разделения на группы - разницу в опыте между персонажами, которые получат максимальное и минимальное количество опыта, и суммарное количество симпатий во всех группах.

Из всех этих способов осталось выбрать наилучший и выдать в качестве ответа.

В этой задаче нужно было определить вероятность того, что уравнение имеет хотя бы один действительный корень, при условии что величины p и q выбирались равновероятно и независимо в своих интервалах [0;a] и [ - b;b].

Для этого необходимо и достаточно чтобы дискриминант D = p - 4q был не меньше нуля. Для решения этой задачи можно было нарисовать на плоскости (p, q) прямоугольник с вершинами в точках (0,  - b), (a,  - b), (a, b) и (0, b) и линию p = 4q. Каждая точка прямоугольника соответствует возможным значениям p и q, а линия делит всю плоскость на две части - где уравнение имеет действительные корни, и где оно их не имеет. Тогда вследствие равновероятности и независимости выбора p и q ответ есть площадь пересечения прямоугольника с областью p ≥ 4q, отнесенная к площади самого прямоугольника, в случае его невырожденности (a, b ≠ 0).

Если ровно одно из чисел a или b равно нулю, прямоугольник вырождается в отрезок, и искомая вероятность равна отношению длины пересечения отрезка с областью p ≥ 4q и всего отрезка. В случае a = b = 0 ответ на задачу, очевидно, равен 1.

Допустим, что, находясь в вершине v, можно для каждого её прямого потомка v_i найти пару значений  < x_i, y_i > , где x_i - максимальное количество бобров, которое может съесть боброжуй, стартуя из вершины v_i и возвращаясь в неё же, а y_i - количество бобров, которое останется в вершине v_i после того, как её посетил боброжуй.

Отсортируем всех потомков v_i по убыванию значения x_i и будем посещать этих потомков v_i в отсортированном порядке, пока гарантированно сможем вернуться к корню. Если же после посещения всех поддеревьев в вершине v ещё остались несъеденные бобры, то будем продолжать поедание по следующему принципу: выберем потомка с ненулевым значением y_j, сделаем прыжок в эту вершину v_j и сразу же вернёмся обратно. Такую операцию нужно повторить максимальное количество раз. Естественно, процесс нужно не эмулировать, а осуществить min(b, y_j) раз, где b - оставшееся количество бобров в вершине v.

Таким образом сформирована пара  < x, y >  для вершины v по известным значениям  < x_i, y_i >  для её непосредственных потомков, где x - количество бобров, которое удалось съесть, а y - это b, количество оставшихся бобров в вершине v.

Ответ - это значение x для стартовой вершины s.

Заметим, что каждая клеточка ковра-из-домино находится в одном из трёх состояний:

1. На неё можно поставить как горизонтальную, так и вертикальную кость домино

2. На неё можно поставить только горизонтальную кость домино

3. На неё можно поставить только вертикальную кость домино

Неважно, какие значения записаны в каждой клеточке, важны только их состояния.

Теперь заметим, что если в какой-то паре соседних столбцов j и j + 1 горизонтально расположена кость домино, то эту пару столбцов размера n × 2 можно вырезать из общего ковра, не побоясь разрезать какие-либо другие кости домино. То есть, эта пара столбцов может заполняться фишками домино независимо от других столбцов.

Если n чётно, то могут заполняться независимо не только пары соседних столбцов, но и столбцы единичной ширины, причём единственным способом - размещением всех костей домино в них вертикально.

Получаем следующую формулу: d_j = (d_j - ₂· q_j - ₂) + (d_j - ₁· p_j - ₁), где j - количество обработанных столбцов, p_j - количество всех возможных способов заполнить костями домино только j-ый столбец (это значение будет равно нулю или единице), а q_j - количество всех возможных способов заполнить только j-ый и j + 1-ый столбцы.

Очевидно, что эта формула неверна: если некоторую соседнюю пару столбцов можно замостить только вертикальными костями домино, то этот способ посчитается дважды. Воспользуемся тем фактом, что это - единственный случай, когда первоначальная формула не работает, и улучшим её, учитывая этот случай.

Получаем: d_j = (d_j - ₂· q_j - ₂) + (d_j - ₁· p_j - ₁) - (d_j - ₂· p_j - ₂· p_j - ₁). В d_m будет находиться искомый ответ.

Осталось посчтитать значения p_j и q_j. p_j находится достаточно просто: если n чётно и в столбце j нет клеточек, находящихся в состоянии "сюда можно ставить только горизонтальную кость домино", то ответ 1, иначе 0.

q_j считается классической динамикой: будем на каждом шаге пытаться ставить либо одну горизонтально расположенную кость домино, либо две вертикально расположенных, пользуясь информацией о том, в каких состояниях находятся исследуемые клеточки ковра.

Также, нужно все вычисления аккуратно производить по требуемому модулю.

Задача решалась с помощью преобразования инверсии.

Инверсия - это преобразование, переводящее точку с полярными координатами (r, φ) в точку . Утверждается, что инверсия переводит прямые или окружности в прямые либо окружности. Причем образом может быть прямая тогда и только тогда, когда исходная прямая или окружность проходила через начало координат (центр инверсии).

Пусть тарелка является кругом с координатами центра (R, 0) и радиусом R, а Гондурас - кругом с центром в (r, 0) и радиусом r. Тогда Гваделупа и Бультерьеры будут расположены так, как показано рисунке слева:

Рисунок 1. Первоначальное изображение	Рисунок 2. После преобразования

Применим преобразование инверсии. Тогда край тарелки перейдет в прямую , а край Гондураса , Гваделупа и Бультерьеры станут окружностями, как показано на другом рисунке. На картинке, получающейся после инверсии, найти образ k-го Бультерьера не составляет никакого труда, координаты его центра равны . Чтобы найти радиус Бультерьера, проведем прямую, проходящую через начало координат и центр его образа, найдем две точки пересечения. Можно показать, что прообразы этих точек есть диаметрально противоположные точки на бультерьере. Соответственно, ответ есть половина расстояния между прообразами найденных точек.