Блог пользователя ilyaraz

Задача про графы
Автор ilyaraz, 12 лет назад, По-русски

Пусть у нас есть связный неориентированный граф без петель и кратных ребер, в котором n вершин и m ребер. Докажите, что в нем найдется C·n2 / m вершин, которые попарно не соединены ребрами, где C — какая-то абсолютная константа.

  • Проголосовать: нравится
  • +52
  • Проголосовать: не нравится

»
12 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Я правильно понимаю, что задача эквивалентна следующей: найдите минимально возможный размер клики в графе с n вершинами и n2 - m рёбрами?

→ Ответить
  • »
    »
    12 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    Да, независимые множества и клики дополняют друг друга.

    → Ответить
»
12 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

Рассмотрим произвольную вершину. Если степень , убьём её; n2 / m изменится на что то, большее (n - 1)2 / (m - 2m / n) = (n2(1 - 2 / n + 1 / n2) / (m(1 - 2 / n)) ≥ n2 / m. Продолжим решать задачу для полученного графа.

Теперь пусть степень . Тогда выкинем эту вершину и все с ней смежные, решим задачу для оставшегося, добавим к ответу вершину. Чему же будет равно отношение n2 / m для оставшегося графа? Понятно, что оно не меньше (n - 2m / n)2 / m = n2 / m - 4 + 4m / n2. Т.е. мы уменьшили отношение на 4 ценой увеличения ответа на 1, значит, этот алгоритм решает задачу с C = 1 / 4.

→ Ответить
»
12 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится +8 Проголосовать: не нравится

а откуда задача?

→ Ответить
  • »
    »
    12 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +13 Проголосовать: не нравится

    Мне ее дали в качестве домашнего задания, я не смог справиться и вот теперь спрашиваю уважаемое сообщество.

    → Ответить
  • »
    »
    12 лет назад, # ^ |
    ← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    А если серьезно, то сложно сказать, откуда она изначально. На ней удобно демонстрировать вероятностный метод. Вот что имеется ввиду.

    Пусть мы хотим выбирать наше независимое множество случайно. Будем включать каждую вершину в него независимо с вероятностью p. Тогда в среднем останется pn вершин и p2m ребер. Но давайте теперь у каждого оставшегося ребра выкинем по концу. Тогда в среднем останется независимое множество размера pn - p2m. Теперь, выбирая p оптимально, получаем требуемую оценку с C = 1 / 4.

    Похожей техникой можно доказать, что если , то, как бы мы не укладывали граф на плоскость, получится не менее C·m3 / n2 пересечений ребер. Подробнее см. здесь.

    → Ответить
  • »
    »
    12 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +6 Проголосовать: не нравится

    А почему в минусах? Может парню интересно, где еще найти таких задач

    → Ответить
»
12 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится -13 Проголосовать: не нравится

ошибся

→ Ответить