随着武陵工业 325 期的开展，武陵地区的生态发生了巨大的变化。现如今，清波寨到武陵城的水路上按顺序分布着 $$$n$$$ 座关口，编号依次为 $$$1, 2, \dots, n$$$。乘坐竹筏从 $$$i-1$$$ 号关口航行至 $$$i$$$ 号关口需要花费 $$$t_i$$$ 单位的时间（$$$2 \le i \le n$$$）。

每座关口均设有周期性的通行限制：关口会在"开启"和"关闭"两种状态之间交替切换，每次维持某一状态的时间均为 $$$k$$$ 个单位时间（即一个完整的开闭周期长度为 $$$2k$$$）。当关口处于开启状态时，竹筏可以瞬间渡过（不花费时间）；当关口处于关闭状态时，竹筏必须在关口前等待，直到关口切换为开启状态方可通行。

作为终末地的干员，小 H 在伊冯的帮助下侵入了中枢系统。他拥有最高权限，可以在出发前，任意设定每一座关口的初始启动时间。然而，由于水路环境的复杂性与系统底层的不可控延迟，小 H 抵达起点的时机无法与系统精准同步。通俗地说：当小 H 在时刻 $$$0$$$ 恰好到达 $$$1$$$ 号关口前准备出发时，$$$1$$$ 号关口刚好处于周期的哪个时刻是完全随机的。

形式化地说：

• 每个关口都有一个时钟 $$$S_i$$$（$$$S_i \in [0, 2k), \ S_i \in \mathbb{R}$$$）。小 H 在到达 $$$1$$$ 号关口前，可以任意设定所有 $$$S_i \ (1 \le i \le n)$$$ 的值。
• 系统中存在一个不可控的全局未知偏移量 $$$\Delta$$$（$$$\Delta \in \mathbb{R}$$$），并且 $$$\Delta$$$ 在 $$$[0, 2k)$$$ 的连续区间内独立且均匀分布。
• 时钟随着时间的推移连续且均匀地流逝。在出发后的任意时刻 $$$t \ (t \ge 0, \ t \in \mathbb{R})$$$，$$$i$$$ 号关口的实际时钟值为 $$$T_i(t) = (S_i + \Delta + t) \bmod 2k$$$。
• 在时刻 $$$t$$$，若 $$$T_i(t) \lt k$$$ ，则该时刻 $$$i$$$ 号关口开启，允许通行；若 $$$T_i(t) \ge k$$$，则该时刻 $$$i$$$ 号关口关闭，必须等待。

现在，小 H 需要乘坐竹筏依次渡过这 $$$n$$$ 座关口前往武陵城。已知他会采取最完美的策略来设定所有的 $$$S_i$$$ 以最小化行程耗时。 请问从时刻 $$$0$$$ 出发开始计时，小 H 只会也只可能采取最优策略的情况下，直到小 H 成功渡过最后一座（$$$n$$$ 号）关口，所花费总时间（包含航行时间与所有等待时间）的数学期望是多少？