Lazy data structure for two-pointers
Difference between en3 and en4, changed 225 character(s)
I ran into a clever trick while reading the solutions here https://mirror.codeforces.com/blog/entry/133382 (look at problem 2006C, "Implementation — Two Pointers")↵

The problem is: let's say there's an array $a$ and an associative operation  ${*}$ and we are interested in computing ${f(l, r) := a_l *  a_{l+1} * \ldots * a_r}$ , where we want to be able to increment $l$ or $r$ and easily recompute $f$. If we can do that, then we can solve all kinds of two-pointer-style problems.↵

If $f$ is invertible, e.g. addition, we can easily do this by just keeping track of a single aggregated value. But what if $f$ is something like $\gcd$? In this case, this simple solution won't work. But there is a trick.↵

With the simple solution, the hard part is incrementing $l$ because if we only keep the aggregated value for $f(l, r)$, we can't recover the value for $f(l+1, r)$. To do that we would ideally need to keep a list of values $f(l, r), f(l+1, r), \ldots, f(r,r)$ and then incrementing $l$ would just involve popping the front of the list. But then, incrementing $r$ is hard because we'd need to recompute the whole list.↵

To combine these two approaches, we keep $f(l, m), f(l+1, m), \ldots, f(m, m)$ for some intermediate $m$, and also $f(m+1, r)$. In the beginning, $l=m=r=0$ . Then:↵

- to increment $r$ we simply recompute the tail value by taking $f(m+1, r+1)=f(m+1, r) * a_{r+1}$↵
- to increment $l$:↵
- if $l < m$ we pop the list.↵
- otherwise, $l = m$. We set $m := r$, and recompute the whole list from $l$ to $r$. This may seem slow but the subarrays recomputed in this manner don't overlap and therefore this has amortized constant cost.↵
- to query $f(l, r)$ we simply compute $f(l, m) * f(m+1, r)$.↵
- EDIT: we can decrement l too! Just compute $f(l-1, m)$ and push to the front of the list. This doesn't break the amortized performance because we never decrement $m$.↵

That's it!↵

Note that this requires we 
onlynever increment the bounds, which is useful only for some$r$, so it doesn't fit every problems.↵

Does this trick have a name? Is it "lore"? I haven't seen it before. But it's been a while since I've done a contest (hard to find time these days...) so maybe it's already well known. For those who haven't seen it, hopefully you find it interesting!↵

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  Rev. Lang. By When Δ Comment
en4 English Svlad_Cjelli 2024-09-12 21:11:49 225
en3 English Svlad_Cjelli 2024-09-12 20:15:05 0 Tiny change: 'l=m=r=0$ .Then:\n- to inc' -> 'l=m=r=0$ . Then:\n\n- to inc' (published)
en2 English Svlad_Cjelli 2024-09-12 20:13:31 3 Tiny change: 'l=m=r=0$ .Then:\n- to inc' -> 'l=m=r=0$ . Then:\n\n- to inc'
en1 English Svlad_Cjelli 2024-09-12 20:12:46 2124 Initial revision (saved to drafts)