Полное решение:
Заметим:
- если a < b, то ответ всегда равен 2. Мы можем сначала выбрать a, затем b.
Пример: a = 2, b = 5 → 2 → 5.
- если a > b, то ответ не может быть 2.
Пример: a = 4, b = 2. Если взять 4, то потом выбрать 2 нельзя.

Однако есть другой способ:

• если a > b и a - 1 > b, то можно выбрать 1, затем b, и затем a - (b+1). Всего получится 3 хода.
• если же a - 1 == b, то решение невозможно. Пример: a = 5, b = 4. После выбора 1 и 4 придётся снова выбрать 4, но это запрещено. Ответ: -1.

Алгоритм:

1. Если a < b → ответ 2.
2. Если a > b и a - 1 > b → ответ 3.
3. Если a - 1 == b → ответ -1.

Полное решение:
Идея: Заметим, что 1,1+n, 2,2-n-1,... такое решение будет работать всегда. Иногда индексы могут перекрываться, поэтому будем делать это пока индекс не свободно x+n-(x-1)..... Для каждого таких индексов ставим n, a[l] = n, a[l+n-(l-1)], и снизим наш н. Это гарантирует для каждого n, что дистанция будет делиться на n.

Алгоритм:

1. Идём по индексам и формируем пары с расстоянием n.
2. Заполняем значения.
3. Уменьшаем n и повторяем.
4. Выводим перестановку.

Полное решение:
Рассмотрим, когда ответ невозможен:
- базовый плохой случай — подстрока 101.
В этом случае кролика перекрывают два непустых горшка, и сделать ничего нельзя.
- более сложные варианты (100101, 010011 и т.д.) тоже сводятся к наличию шаблона 101.

Таким образом, условие сводится к проверке на подстроку 101.

Алгоритм:

1. Заводим два указателя.
2. Ищем чередующуюся последовательность, начинающуюся с 1.
3. Если её длина кратна 3, то где-то внутри обязательно будет 101, → ответ "NO".
4. Иначе выводим "YES".

Полное решение:
Разберём отдельно два случая:

1. Если x чётное. Пусть у Алисы sum1, у Боба sum2. Тогда после выбора хода суммы будут меняться так:

(sum1+f(x)), (sum2+f(x-1)), (sum1+f(x-2)), (sum2+f(x-3))...

В итоге оба игрока могут сделать так, чтобы суммы были равны.

1. Если x нечётное. Теперь счёт всегда смещается в пользу того, кто сделал ход. Игроки будут выбирать только нечётные числа, причём самые выгодные (с максимальным f(x)).

Подсчёт:

• для нечётных x вклад в счёт:

sum += ((x+1)/2) * f(x)

(для игрока, чей ход). * у второго игрока остаётся:

sum2 += (x - (x+1)/2) * f(x). * для чётных x вклад одинаковый для обоих игроков, поэтому порядок ходов не важен.

Алгоритм:

1. Подсчитать f(x) для каждого элемента.
2. Разбить на чётные и нечётные.
3. Отсортировать нечётные по убыванию частоты.
4. Ход за ходом распределять числа:

• если ход Алисы → она берёт лучшие нечётные;
• если ход Боба → он берёт следующие.

1. Добавить чётные к обеим суммам поровну.
2. Вывести суммы Алисы и Боба.