Самый важный шаг на пути к решению этой задачи - понять, что достаточно рассматривать только такие повороты пылесоса, когда одна из его сторон полностью прижата к стороне комнаты.

Чтобы понять это, можно рассуждать таким образом. Пусть наше утверждение неверно, т.е. есть оптимальное положение пылесоса, когда ни к одной, ни к другой стороне комнаты многоугольник не прижат. Обозначим через i и j номера вершин, которыми этот многоугольник касается сторон комнаты. Понятно, что форма самого многоугольника между вершинами i и j ни на что не влияет: при любом повороте от площади треугольника OP[i]P[j] отнимается какая-то константная площадь, определяемая формой этого многоугольника (на рисунке она обозначена голубой заливкой).

Значит, сама форма ни на что не влияет, а мы должны просто минимизировать площадь прямоугольного треугольника OP[i]P[j], но учитывая, что гипотенуза имеет фиксированную длину, становится понятно, что минимум достигается в граничных случаях: когда мы максимально прижимаем гипотенузу к одной из сторон комнаты.

Итак, утверждение доказано, теперь надо понять, как написать быстрое решение. У нас уже есть решение за квадрат: перебирать сторону с точкой i, прикладывать её к каждой из сторон комнаты, искать крайнюю точку j и считать получающуюся в углу площадь. Чтобы написать быстрое решение, надо научиться обе этих вещи делать за константное время: искать точку j и считать ответ.

Точку j поддерживать легко: мы можем просто перебирать прижимаемую сторону i в порядке обхода многоугольника, тогда крайнюю точку j мы можем просто поддерживать по методу движущегося указателя (т.е. при переходе к следующему i продвигать и указатель j вперёд, пока он не достигнет нужной крайней точки).

Несколько сложнее ситуация с подсчётом ответа. Чтобы вычислять его быстро, надо, согласно рисунку, быстро уметь считать площадь такой области между любыми двумя точками i и j. Для этого, например, найдём центр масс Q многоугольника и предпосчитаем все частичные суммы S[i] - суммы треугольников QP[j - 1]P[j] по всем j ≤ i. После такого предпосчёта ответ получается как комбинация разности двух значений массива S[] и площадей треугольников QP[i]P[j] и OP[i]P[j].