Задача достаточно старая, но не очень известная, поэтому я надеюсь кто-то здесь ее еще не видел и получит удовольствие от ее решения :о)
Пусть в известном фильме 12 стульев Клавдия Ивановна или как ее там звали зарыла бриллианты в один из стульев не гарантированно, а с шансом 90%. После вскрытия 11 стульев, и не обнаружения бриллиантов в них, каков шанс обнаружить бриллианты в 12-ом стуле?
Пусть в известном фильме 12 стульев Клавдия Ивановна или как ее там звали зарыла бриллианты в один из стульев не гарантированно, а с шансом 90%. После вскрытия 11 стульев, и не обнаружения бриллиантов в них, каков шанс обнаружить бриллианты в 12-ом стуле?
* звук шарика
- 42,8571429, скорее-черное-чем-красное!
Смотри. Допустим у нас есть три ящика, в одном из трех ящиков лежит шар, вероятность для каждого ящика того, что в нем лежит шар одинакова (1/3). Нам разрешено открыть только первые два, вероятность того, что шар окажется в одном из них очевидно равна 2/3. Мы открыли один ящик, в нем было пусто. (Можно заметить, что условия полностью аналогичны задаче про стулья, только числа другие) Какова тогда вероятность того что шарик окажется во втором? По твоей логике получается, что те же 2/3. Тогда для третьего остается 1 - 2/3 = 1/3. Откуда такая несправедливость по отношению к третьему ящику? Не кажется ли тебе, что вероятность для каждого из оставшихся двух ящиков должна быть одинакова (1/2)? ;)
Допустим у нас не 12, а N стульев, где N >= 12, и в одном из них с одинаковой вероятностью гарантированно должны быть бриллианты. Тогда вероятность, что они окажутся в первых 12 равна 12 / N. То есть при наших 90% (9/10) N = 120 / 9 = 40 / 3 (а кто сказал, что число стульев должно быть натуральным числом? :) ). Мы вскрыли 11 стульев безуспешно и у нас осталось N - 11. Тогда вероятность для каждого из оставшихся стульев - а следовательно и для двенадцатого - равна 1 / (N - 11) = 1 / (40 / 3 - 11) = 3 / 7 - это и есть ответ.
На самом деле в первый раз я решил эту задачку совсем другим способом (и без дробного числа стульев), но результат получил тот же самый.
Изначально у нас три возможных события:
001 (шар в третьем ящике)
010 (шар во втором ящике)
100 (шар в третьем ящике)
Зная, что в первом ящике шара нет, можем вычеркнуть третье событие, остается два:
001 (шар в третьем ящике)
010 (шар во втором ящике)
Из них только в одном шар во втором ящике, следовательно вероятность 1/2.
Не знаю как объяснить понятнее...
Каждое из следующих событий будет встречаться по 9 раз:
000000000001 (брильянты в 12-м стуле)
000000000010 (брильянты в 11-м стуле)
...
100000000000 (брильянты в 1-м стуле)
Следующее событие будет встречаться 12 раз:
000000000000 (брильянты не положили)
То есть всего 120 равновероятных событий, среди которых 90% (9 * 12 / 120) - это те, в которых брильянты положены.
После вычеркивания несостоявшихся событий остается:
9 раз:
000000000001 (брильянты в 12-м стуле)
12 раз:
000000000000 (брильянты не положили)
Всего 21 событие, из них в 9-и брильянты в 12-м стуле, то есть ответ 9/21 = 3/7.
"Ответ на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого"
Хороший вариант(брильянты в 12-ом) стуле - вероятность a = (9/10)*(1/12) = 3/40.
Плохой вариант(брильянтов нигде нет) - вероятность b = 1/10.
Ответ = a/(a+b) = 3/7
Как-то так.
Твоя ошибка в том, что вскрывая стул и не находя бриллианты ты распределяешь веротность на оставшиеся стулья, но не на факт того, что они не были спрятаны вообще. Посмотри на задачу с другой стороны. Пусть было 13 стульев, в каждый из первых 12 бриллианты были спрятаны с шансом 7.5%, а в 13-ый с шансом 10%. В такой постановке совершенно очевидно, что если в начале шансы найти в 12-ом и 13-ом были соответственно 7.5% и 10%, то в конце они не будут 90% и 10% (почему бы от вскрытия 11 стульев вероятность найти в 12-ом выросла относительно вероятности найти в 13-ом). Совершенно очевидно, что шансы будут относиться как 7.5 к 10, и давать в сумме 100%, то есть они будут равны 43% и 57%.
Разницы спрятать бриллианты в 13-ый стул, или не спрятать вообще, нет никакой.
До того, как начали вскрывать стулья, шанс не найти был 10%.
Вскрыв 11 стульев и не найдя там бриллиантов мы получили новую информацию.
> вероятность того, что не найдут 4/7, а по условию это 10%. Как обяснить пролтиворечие?
Аналогично - по вашему решению шанс того, что найдут в 12-ом стуле - 90%, а по условию он 7.5%. Как вы можете объяснить это противоречие? :о)
Я не отвечаю на вопрос «Какова вероятность нахождения клада в стуле № 12?», а решаю предложенную задачу и согласен с FAndES ,что ответ 3/7 получается именно при ответе на вопрос «Какова вероятность нахождения клада в стуле № 12?». По условию задачи мы знаем, что камней в первом стуле нет, т.е. то, что клад в нём - невероятное событие, его вероятность равна нулю. Тоже для остальных стульев. Сумма вероятностей нахождения клада в каждом стуле равна вероятности нахождения его в каком-то стуле: 10 нулевых слагаемых плюс искомое равно 90%, значит, ответ всё-таки 90%.
1. Сначала Клавдия Ивановна вызвара рандом-генератор от 1 до 10 и если он выдал не 10 спрятала бриллианты в один из стульев (каждый стул имел равную вероятность на то, чтобы бриллианты были спрятаны в нем). Если он выдал 10, она не спрятала бриллианты.
2. Затем после этого 11 стульев были вскрыты. В них не обнаружилось бриллиантов.
3. Вопрос: каков шанс, что в текущей ситуации бриллианты в 12-ом, не вскрытм, стуле.
Ответ: 3/7. Если вы не верите, напишите, программу, которая эмулирует:
для (1..100000) {
P = массив булов[1..12]
// прячем бриллиант
если (рандом(1..100) <= 90%) P[рандом(1..12)]=1
// проверяем попали ли мы в одну из исследуемых ситуаций
если (P[1], Р[2] ... P[11] все 0) {
++ тотал
если (P[12] = 1) ++ гуд
}
}
вывести гуд / тотал
и посмотрите ответ.
Очень важно правильно задать вопрос (читайте не только Лукьяненко, но и Шекли). Всё-таки в представленной формулировке задачи события вскрытия уже произошли, мы уже в данной ситуации, проверять попали ли мы в неё ненужно. Вопрос, на мой взгляд, должен быть поставлен в такой форме: «Какова вероятность того, что клад обнаружится в последнем из вскрытых стульев?». В этом случае действительно ответ 3/7. Вероятность того, что клад обнаружат при первом вскрытии 3/40; при втором – 3/37, при третьем – 3/34 и т.д. Наверное разногласия из-за не совсем точной постановке вопроса. Но все-таки было интересно поспорить, спасибо!
У вас же получается, что вероятность обнаружить клад равна 3/40 + 3/37 + 3/34 + ... + 3/7, а это больше единицы.
Как раз отличается: ведь уже известно, что клада нет в 11 стульях. вероятности 3/37, 3/34 и т.д. до 3/7 включают случай, что клада нет в первом стуле; 3/34 , 3/31 .... 3/7 - что его нет во втором и т.д. так что их сумма конечно будет больше 1 и даже больше 2.
Где здесь написано, что уже известно, что клада нет в 11 стульях? А вот в исходной задаче написано. Т.е. исходная задача спрашивает об условной вероятности, а ваша — о безусловной. Не знаю, как это можно понимать по-другому.
Вот например, условная вероятность. В этой статье отмечается тот факт, что вероятность события A может отличаться от вероятности, если известно, что B произошло. В нашем случае, пусть A - вероятность того, что деньги спрятаны, а B - то, что их нет в первых 11 стульях. Нам известно, что P(A)=1/10, и что P(B|A)=1/12. Кроме того, можно подсчитать, что P(B)=(9/10)*(1/12)+1/10=7/40 (вероятность, что деньги спрятаны в последнем стуле + вероятность, что деньги не спрятаны). А нас интересует P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=3/7. Тут не к чему придраться - все по формулам.
11 стулов ушли, осталось: 1/10 против 1/10*9/12
получается 9 к 12, то есть 9/(9+12) = 3/7
ответ - 3/7.
P ( бриллианты в 12 стуле / в первых 11 их нет ) = P ( бриллианты в 12 стуле ) / P ( в первых 11 их нет )
P ( бриллианты в 12 стуле ) = 1 / 12 * (0.9)
P ( бриллианты в первых 11 стульях ) = 11 / 12 * (0.9)
P ( бриллианты не в первых 11 стульях ) = 1 - P ( бриллианты в первых 11 стульях )
Ответ: 3 / 7
With the probability of 10% diamonds were not hidden in any of chairs
With the probability of 90% diamonds were hidden in randomly chosen chair.
After that 11 of them were cut off and none of these 11 contained diamonds.
Приведено много ненужной арифметики. Если считать что условие корректно, то вероятность обнаружения брюлликов в первых N cтульях изначально задана и равна нулю.
Давайте рассуждать. допустим, что 100% в последнем стуле есть камни, а во всех предыдущих их гарантировано нет (это следует из условия задачи "...и не обнаружения бриллиантов в них..."). Нас они интересуют? Нет.
Нам говорят, вот 101 стул. Вот в этих 100 стульях ничего нет, можете вскрыть или нет ради любопытства. А вот "последний" стул, в нем с гарантией 100% камешки есть. Да мы и не будем те 100 стульев вскрывать, дураки что ли. Подойдем к "последнему" стулу и заберем причитающиеся нам бриллианты со 100% уверенностью :-).
Ответ: 90%
Ошибочность всех предыдущих выкладок заключалось в том, что вероятность считалась с учетом вероятности обнаружения в предыдущих стульях. А она то, усходя из условия =0. Футы, повторяюсь.
Шанс на то, что бриллианты в стульях, равный 90%, был изначально. Он был равновероятно распределен на 12 стульев, и, следовательно, вероятность того, что в каждом стуле были бриллианты, была 7.5%.
То есть изначально шанс найти бриллианты в 12-ом стуле был 7.5%, не найти - 10%. От того, что вы вскрыли 11 стульев, вы не получили никакой новой информации относительно того, находятся бриллианты в 12-ом стуле или не находятся нигде, а значит оснований полагать, что шанс найти в 12-ом стуле вырос относительно вероятности не найти у вас нет.
Как я уже писал человеку выше, если вы не понимаете этого так просто, напишите программу, эмулирующую этот процесс.
Возмем вероятность закладки 100%. Тогда вероятность обнаружить камни в первом стуле будет 100/12, в следующем 100/11, и т.д. до 100/1.
И какая принципиальная разница если изначально 90% ?
Пусть изначально у нас "степень уверенности" в том, что бриллианты были заложены, равна 90%. Мы проводим "эксперимент": открываем стул. Если мы обнаруживаем там бриллианты, то степень уверенности возрастает до 100%. А значит, если мы бриллиантов не обнаруживаем, то степень уверенности должна уменьшиться.
Поэтому когда мы вскрыли 11 стульев, степень уверенности в том, что бриллианты были заложены, будет меньше изначальных 90%.
Если я правильно помню оригинал, именно так дело и обстояло, т.е. Клавдия Ивановна кладет брильянты именно в последний стул :)
а) передумать
б) забыть
в) не успеть
Естественно, Клавдия Ивановна зашила брильянты не в последний, а в случайно выбранный стул =). Последним он оказался в поисках Кисы и Оси.
По-моему во всевозможных книжках по занимательной математике для детей (у Гарднера точно) это обсуждается.
Неверующим предлагается провести моделирование - небось, программизьмом все владеют?
Алгоритм нужен примерно такой:
int yes = 0, no = 0;
for (int tries = 0; tries < 1000; tries++) {
boolean[] chairs = new boolean[12];
if (Math.random() < 0.9)
chairs[(int) (Math.random() * 12)] = true;
if (chairs[0..10].areEmpty()) {
if (chairs[11]) yes++; else no++;
} // if
} // while
System.out.ohShowMeTheseNumbers(yes + " " + no);
I thought about it this way:
If we know there are three events with probabilities 0.2, 0.3, 0.5 and we make an experiment from which we find out that the first can't happen then the other two will have probabilities 0.3/0.8=0.375 and 0.5/0.8=0.625.