Я обнаружил несколько иное доказательство формулы Пика, ничего радикально нового в нём нет, но оно не использует индукцию, не рассматривает частные случаи и не полагается на формулу Эйлера для многогранников.

Схема такая:

1. Установить справедливость формулы для прямоугольной трапеции с основаниями параллельными Oy и боковой стороной на Ox.
2. Воспользоваться формулой сумм трапеций для нахождения площади.