Можно решить линейной динамикой по дереву. Берем первую вершину и подвешиваем дерево за нее. Теперь напишем функцию Solve, которая будет принимать вершину U и возвращать два значения:

1. Сумму весов всех путей, которые начинаются в вершине U и идут куда-то вниз.
2. Сумму весов всех остальных путей в поддереве, корнем которого является вершина U.

Ясно, что ответ на вопрос задачи это суммы этих двух значений при вызове Solve(1).

Чтобы найти эти два значения мы будем перебирать всех сыновей вершины U и вызывать рекурсивно функцию Solve и обрабатывать ее результат определенным образом. Каким именно образом станет понятно, когда вы распишите формулы получения обоих значений для корня из таких же значений для его детей. Например, первое число равно сумме (A+1)*w по всем детям. A - это первое число ребенка, а w - вес ребра от U к этому ребенку. Второе число расписывается похожим образом, но там возникает двойная сумма. Естественно считать ее двойным циклом нельзя, но это не особо сложно обойти, считая все одним циклом и постепенно накапливая нужный результат.