Предлагаю выкладывать сюда интересные математические задачи пронумерованно, а в обсуждении писать решения под спойлером с указанием номера задачи. Должно получиться структурированно и интересно.
1) В загоне имеется 101 кролик. Если забрать любого одного, то оставшихся можно разделить на 2 загона по пятьдесят кроликов в каждом, так что суммарный вес первого загона равен суммарному весу другого загона. Докажите, что все крольчата весят одинаково. (Решена)
Cсылка на обсуждение задачи №1
2) Есть множество из n несовпадающих точек. Известно, что для любых двух точек из этого множества найдется третья из этого множества, лежащая с ними на одной прямой. Нужно доказать, что все точки лежат на одной прямой.
Ссылка на обсуждение задачи №2
3) Имеется семь одинаковых банок краски, на 9/10 заполненных краской одного из цветов радуги (в каждой банке – свой цвет и цвета разные). Можно ли, переливая краски из банки в банку (и равномерно размешивая содержимое), получить хотя бы в одной банке колер, в котором все цвета смешаны в равной пропорции?
Ссылка на обсуждение задачи №3
4) Существует ли многочлен от двух переменных, принимающий все положительные значения, но нигде не обращающийся в ноль? (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №4
5) К чему бы вы просуммировали натуральный ряд? (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №5
6) Рассмотрим лабиринт, комнаты которого занумерованы натуральными числами. Из комнаты с номером 2n можно ходить в комнату с номером n, а из комнаты с номером 2n+1 можно ходить в комнаты с номером 6n+4 и 6n+2. Заметим, что 1 - практически тупик, поскольку ходы 1->4->2->1 или 1->2->1. Заметим также, что в комнаты с номерами вида 3n нет ни одного входа.
а) докажите, что из любой комнаты с нечетным номером, кроме 1, можно попасть в комнату 5.
б) докажите или опровергните, что в любую комнату, номер которой не делится на 3, можно попасть из комнаты номер 5.
в) докажите или опровергните, что для любого n существует х такой, что из 5 можно попасть в x, но при этом обязательно посетить комнату с номером больше, чем n*x.
Ссылка на обсуждение задачи №6
7) Тиран собрал мудрецов и сказал: завтра я вас соберу снова и надену на каждого белую или чёрную шапку - так, что вы увидите шапки других, но не свою. Затем по свистку вы все, не сговариваясь, поднимете левую или правую руку - при этом люди в белых шапках должны поднять одну руку, а в чёрных - другую. И ушёл. Мудрецы погоревали, но потом придумали простой способ сделать требуемое. Какой? (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №7
8) Есть 9 монет. Среди них одна фальшивая. При чем неизвестно легче она или тяжелее. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь ее можно определить. (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №8
8.1) Аналогично задачи №8, но для 13 монет. (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №8.1
9) Посчитать преобразование Фурье функции f(x) = sin(x)^2/(x*(x^2+1))
Ссылка на обсуждение задачи №9
10) Известно, что a^2+b^2=9, c^2+d^2=16. Найти сумму всех целых значений, которые может принимать выражение (a-c)^2+(b-d)^2? (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №10
11) Доказать что если f(f(f(f...f(x)))...)))=x (f(x)-повторено 2011 раз) имеет решение, то и решение будет иметь уравнение f(x)=x. f(x)-непрерывна и задана на всей числовой прямой. (Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №11
12) 1-x+root(3)((x^3)/(3+x))=0 //Кубический корень из дроби x^3/(3+x)
Ссылка на обсуждение задачи №12
13) Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.).
1) Найдите минимальное время перехода через мост.
2) Приведите последовательность (стратегию) перехода через мост при условиях, данных в задаче.
Ссылка на обсуждение задачи №13
14) Не отрывая карандаша от бумаги, проведите через 9 точек, расположенных в виде квадрата, 4 отрезка. В исходную точку возвращаться не обязательно. (Решена)
* * *
* * *
* * *
Ссылка на обсуждение задачи №14
14.1) 16 точек, 6 отрезков, конец ломаной должен совпадать с началом и по каждой точке ровно один раз проходим. (Опираясь на условие предыдущей задачи)
Ссылка на обсуждение задачи №14.1
15) Найти все конечные числовые множества M, удолетворяющие трем условиям:
1. |M|>=3.
2. В M есть хотя бы одно отрицательное число.
3. Для любых двух различных чисел a и b из M число ab+1 также принадлежит M.
(Решена)
Ссылка на обсуждение задачи №15
Пост обновляется по мере поступления новых задач.
Решение 1(2)
Задача 2:
Возможно, тоже боян, но, по-моему, достаточно сложный:
Есть множество из n несовпадающих точек. Известно, что для любых двух точек из этого множества найдется третья из этого множества, лежащая с ними на одной прямой. Нужно доказать, что все точки лежат на одной прямой.
Несложно или ошибка?
Вопрос.
Ответ.
Забавные переписки:
- Вопрос.
- Ответ.
- Уточняю.
И ещё:
- Вопрос к anonymous
- Ответ
Хм.. на мыло пршло письмо:
Пользователь AWPRIS оставил комментарий на ваше сообщение. Перейдите по ссылке http://mirror.codeforces.com/comments/3436#comment-68491 для просмотра.
Хотя этот коммент отображается в дереве параллельно моему комментарию...
UPD. Понятно... дело в обновлении на кф которое я не видел раньше... с обилием гавнатем и после провала на полуфинале реже стал заходить сюда.
Пояснение, которое, видимо, уже не имеет смысла =)
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился;
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
(Пер. С.Н. Боброва)
Сколько лет прожил Диофант?
Имеется семь одинаковых банок краски, на 9/10 заполненных краской одного из цветов радуги (в каждой банке – свой цвет и цвета разные). Можно ли, переливая краски из банки в банку (и равномерно размешивая содержимое), получить хотя бы в одной банке колер, в котором все цвета смешаны в равной пропорции?
игнор
Вроде нет.
вы правы
Комментарий к решению.
Комментарий.
Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее. Верно ли, что для любого n мы в итоге получим единицу?
Ну и самое простое, к чему бы вы просуммировали натуральный ряд?
Вроде 1 и 2 в вашем списке не решено до сих пор, нет? :)
Тогда предлагаю Вашему вниманию такую задачу (она даже решена ;))
Пусть a_n - возрастающая последовательность натуральных чисел. Назовем плотностью a_n предел отношения n/a_n. Так, любая арифметическая прогрессия с разностью d имеет плотность 1/d. Докажите, что если у a_n плотность больше 0, то из нее можно выбрать сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
Существует интересная вариация на эту тему. Для нечетного числа мы можем либо сделать 3n+1, либо 3n-1. Тогда верно, что из любого числа можно получить не только 1, но и 5, и, видимо, верно, что из 5 можем получить любое число, не делящееся на 3 (последнего доказательство не знаю).
Спойлер
Я наверное совсем в универе не учился, не могли бы вы разъяснить условие задачи? Мне прочиталось, что нужно найти сумму 1+2+3+4... и показалось абсолютной бессмыслицей.
Это бессмыслица до тех пор, пока пользоваться определением "сумма ряда - это предел частичных сумм". Такое определение для многих рядов действительно не годится. Например, для ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) +... . Однако, уметь суммировать и такие ряды тоже хочется. Кстати, суммирование расходящихся рядов имеет совершенно неожиданные результаты для некоторых задач.
Собственно, как же суммировать? Для этого можно придумывать много разных методов, некоторые описаны тут http://en.wikipedia.org/wiki/Summation_method , главное требование - чтобы метод давал тот же ответ на тех рядах, которые классическое "предел частичных сумм" может просуммировать. Проще всего рассмотреть такой (метод Чезаро) - считаем предел средних значений частичных сумм. Очевидно, что если классическое определение работает, то и это тоже, и дает тот же ответ, а, например 1 - 1 + 1 - 1 +1 -... отлично просуммируется к 0.
Я конечно понимаю, что при такой свободе выбора метода суммирования, у нас в ответе может получиться хоть фиолетовый банан (ну, или комплексное число, не суть). Но все же. Вы уверены что речь идет не о знакопеременном ряде(1-2+3-4+5-6...)? Для него частичные суммы будут 1, -1, 1,-1 ... и тогда -1/12 подходит (попадает в интервал [-1;1]). А вот для 1+2+3+4... отрицательный ответ как-то странно выглядит.
Ответ Alias.
Что еще за "Maximal depth" при отправке комментария?
А чем никем не решенные задачи хуже решенных сотнями людей?
Числовой лабиринт.
Рассмотрим лабиринт, комнаты которого занумерованы натуральными числами. Из комнаты с номером 2n можно ходить в комнату с номером n, а из комнаты с номером 2n+1 можно ходить в комнаты с номером 6n+4 и 6n+2. Заметим, что 1 - практически тупик, поскольку ходы 1->4->2->1 или 1->2->1. Заметим также, что в комнаты с номерами вида 3n нет ни одного входа.
а) докажите, что из любой комнаты с нечетным номером, кроме 1, можно попасть в комнату 5.
б) докажите или опровергните, что в любую комнату, номер которой не делится на 3, можно попасть из комнаты номер 5.
в) докажите или опровергните, что для любого n существует х такой, что из 5 можно попасть в x, но при этом обязательно посетить комнату с номером больше, чем n*x.
Сейчас есть решения для 1, 4, 5.
Вот задача:
"Тиран собрал мудрецов и сказал: завтра я вас соберу снова и надену на каждого белую или чёрную шапку - так, что вы увидите шапки других, но не свою. Затем по свистку вы все, не сговариваясь, поднимете левую или правую руку - при этом люди в белых шапках должны поднять одну руку, а в чёрных - другую. И ушёл. Мудрецы погоревали, но потом придумали простой способ сделать требуемое. Какой?"
Мне надо завтра сдать задачу в школе по математике 6 класс. Я не могу придумать как ее решить для нечетного числа мудрецов. Для четного их можно поставить друг напротив друга и договориться , что поднимать левую руку если у мудреца напротив белая шапка и правую если черная. Если кто знает подскажите пожалуйста.
Ну у вас решения для чётного тоже нет.
Подсказка в первой правке
Вам для кайфа еще одна задача для 6 класса.
"Была тонна огурцов. При этом было определено, что процентное содержание жидкости в товаре 99%. После транспортировки огурцов выяснилось, что процентное содержание жидкости уменьшилось до 98%. Сколько килограмм огурцов осталось?". (Ответ я знаю)
Эт хрень а не задача =(
а та кайфовая была
Я давно заметил, что люди неправильно используют слово "спойлер", особенно на этом ресурсе. Давайте проясним, что "спойлер" это и есть подсказка. Спойлер, это высказывание раскрывающее некую суть, например спойлером для детектива будет кто же все таки убийца, или раскрытие неожиданной концовки фильма - вот спойлер. (Википедия: Классический пример спойлера, вошедший в анекдоты — имя убийцы в детективе «убийца — садовник») Вот просишь ты людей фильм посоветовать, но не хочешь заранее знать чем кончится, как неожиданно повернется сюжет (ты хочешь чтобы он неожиданно для тебя изменился, а не так, как тебе сказали заранее) и говоришь, "только без спойлеров пожалуйста" или "только не спойлерите". Исходя из этого фраза "подсказка за спойлером" - просто чушь. Правильнее было бы сказать "спойлер в предыдущей правке", "спойлер под катом", "спойлер по ссылке" и т.д. Давайте на одном языке говорить.
Не интерфейсное решение, а сам скрываемый объект, что более-менее соответствует исконному значению слова.
решение?
решение
Есть 9 монет. Среди них одна фальшивая. При чем неизвестно легче она или тяжелее. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь ее можно определить.
спойлер
Пойдет?
Можно проще. Cпойлер
Спойлер.
ещё есть похожая задача D
Тут известно что фальшивая монета тяжелее остальных. Так неинтересно...
Ответ
Комментарий
Может так? Спойлер. Вроде бы не запутался.
Вопрос.
Да, что то не то. Пошел думать дальше. На кучки то хоть правильно разбил?
Вы пишите "горячо" или "холодно"
Дополнение: итого 3 взвешивания, ведь именно это было в вопросе
Решение правильное. Сам, когда решал, накодил табличку (в предыдущей правке).
Ответ анонимусу
спойлер
а ка насчёт дробных чисел?
не факт, не факт... и не только не факт, а факт, что не обязательно!
спойлер
Доказать что если f(f(f(f...f(x)))...)))=x (f(x)-повторено 2011 раз) имеет решение, то и решение будет иметь уравнение f(x)=x. f(x)-непрерывна и задана на всей числовой прямой.
Спойлер
Вопрос по решению
бла бла
Вот еще одна задачка. Кто захочет пусть поганяет старушку по мосту.
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.).
1) Найдите минимальное время перехода через мост.
2) Приведите последовательность (стратегию) перехода через мост при условиях, данных в задаче.
Спойлер.
бла
Кто хочет порешать?
Не отрывая карандаша от бумаги, проведите через 9 точек, расположенных в виде квадрата, 4 отрезка. В исходную точку возвращаться не обязательно.
* * *
* * *
* * *
блаблабла
Поподробнее пожалуйста, не понимаю, это решение чтоли?
З.Ы. у меня такое ощущение, что невозможно,но доказать не могу :-(
решение
Найти все конечные числовые множества M, удолетворяющие трем условиям:
1. |M|>=3.
2. В M есть хотя бы одно отрицательное число.
3. Для любых двух различных чисел a и b из M число ab+1 также принадлежит M.
Первое -можешь доказать почему нельзя множество, когда одно>1, а другое<1, и они положительные.
Второе - множество {-1, -1, ... ,-1 ,2} подходит.
Третье - ты рассматривал случаи когда числа не целые?
Ответ.
Спойлер..
кто-то будет решать с повторениямя, кто-то без...
Поправка 1.
спойлер