Пронумеруй грани на кубике, тогда в качестве состояния удобно хранить позицию на поле и положение самого кубика, которое однозначно задается номерами граней, которые находятся на каких нибудь двух позициях, например, нижней и передней

Для каждого состояния можно хранить положение самого кубика(т.е. 6 чисел — номера граней, который сейчас находятся на соответствующих позициях)

Тогда не сложно каждый раз поворачивать кубик(что и будет ребрами), т.е., например, при повороте на право, правая грань станет нижней, нижняя — левой, левая — верхней, верхняя — правой, а передняя и задняя останутся на своих местах

всего таких переходов для каждого состояния возможно четыре