Устойчивость стены — это число горизонтальных кирпичей минус число вертикальных. Так как горизонтальный кирпич длины хотя бы $$$2$$$, в одном ряду можно разместить не более $$$\lfloor\frac{m}{2}\rfloor$$$ горизонтальных кирпичей. Поэтому ответ не превосходит $$$n \cdot \lfloor\frac{m}{2}\rfloor$$$. С другой стороны, если размещать в ряду горизонтальные кирпичи длины $$$2$$$, и, когда $$$m$$$ нечётно, последний кирпич длины $$$3$$$, то в каждом ряду будет ровно $$$\lfloor\frac{m}{2}\rfloor$$$ горизонтальных кирпичей, и вертикальных кирпичей в стене вообще не будет. Так достигается максимальная устойчивость $$$n \cdot \lfloor\frac{m}{2}\rfloor$$$. Решение — это одна формула, асимптотика $$$O(1)$$$.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;


int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int64_t n,m;
        cin >> n >> m;
        cout << n*(m/2) << '\n';
    }
    return 0;
}

Заметим, что операциями вида: поменять местами $$$a_i$$$ с $$$a_j$$$ и $$$b_i$$$ с $$$b_j$$$ одновременно можно переставить массив $$$a$$$ как угодно, но одному и тому же $$$a_i$$$ будет соответствовать одно и то же $$$b_i$$$ (потому что меняем и $$$a_i$$$ и $$$b_i$$$ сразу). Давайте отсортируем такими операциями массив $$$a$$$. Тогда суммой количества инверсий в $$$a$$$ и $$$b$$$ будет количество инверсий в $$$b$$$, так как $$$a$$$ отсортирован. Утверждается, что это минимальная сумма, которую можно достичь.

Доказательство: Рассмотрим две пары элементов $$$a_i$$$ с $$$a_j$$$ и $$$b_i$$$ с $$$b_j$$$ ($$$i$$$ < $$$j$$$). В каждой из этих пар может быть либо $$$0$$$, либо $$$1$$$ инверсия, то есть среди двух пар либо $$$0$$$, либо $$$1$$$, либо $$$2$$$ инверсии. Если до операции было $$$0$$$ инверсий, то после операции станет две, если была $$$1$$$, то и останется $$$1$$$, если было $$$2$$$, то станет $$$0$$$. Если перестановка $$$a_i$$$ отсортирована, то в каждой паре индексов $$$i$$$ и $$$j$$$ будет максимум $$$1$$$ инверсия, поэтому любая пара индексов будет давать не больше инверсий, чем если их поменять. Поскольку в каждой паре количество инверсий минимально возможное, то и общее количество инверсий минимально возможное.

Асимптотика: $$$O(n \log n)$$$ на набор входных данных.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        pair<int,int> ab[n];
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            cin >> ab[i].first;
        }
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            cin >> ab[i].second;
        }
        sort(ab,ab+n);
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            cout << ab[i].first << ' ';
        }
        cout << "\n";
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            cout << ab[i].second << ' ';
        }
        cout << "\n";
    }
}

Рассмотрим битовое представление чисел $$$a$$$, $$$b$$$, $$$x$$$. Посмотрим на какие-то $$$2$$$ бита на одинаковой позиции в $$$a$$$ и $$$b$$$, если они одинаковы, то независимо от того, что стоит в $$$x$$$, в числе $$$|({a \oplus x}) - ({b \oplus x})|$$$ на той же позиции будет стоять $$$0$$$. Поэтому на все такие позиции в $$$x$$$ выгодно поставить 0 (так как мы хотим, чтобы выполнялось $$$x \leq r$$$, а от бита ответ все равно не зависит). Если же биты в $$$a$$$ и $$$b$$$ на одной позиции отличаются, то на этой позиции будет $$$1$$$ либо в $$$a \oplus x$$$, либо в $$$b \oplus x$$$ в зависимости от того, что стоит на этой позиции в $$$x$$$.

Пусть $$$a$$$ < $$$b$$$, если нет, то поменяем их местами. Тогда на старшей позиции, из тех где биты различаются, в $$$a$$$ стоит $$$0$$$, а в $$$b$$$ стоит $$$1$$$. Есть $$$2$$$ варианта, либо поставить на эту позицию $$$1$$$ в $$$x$$$ (и тогда будет $$$1$$$ в $$$a \oplus x$$$), либо поставить $$$0$$$ в $$$x$$$ (и тогда будет $$$0$$$ в $$$a \oplus x$$$).

Пусть мы поставили $$$0$$$ в $$$x$$$, тогда $$$a \oplus x$$$ точно будет меньше, чем $$$b \oplus x$$$ (потому что в старшем различающемся бите $$$a \oplus x$$$ имеет $$$0$$$, а $$$b \oplus x$$$ имеет $$$1$$$). Поэтому на всех следующих позициях выгодно делать $$$1$$$ в $$$a \oplus x$$$, ведь так мы максимально приблизим эти числа, сделаем меньше их разность. Поэтому можно пойти по убыванию позиций, и если позиция различающаяся, то сделаем на этой позиции $$$1$$$ в $$$a \oplus x$$$, если это возможно (если при этом $$$x$$$ не превысит $$$r$$$).

Второй случай (когда мы поставили $$$1$$$ в $$$x$$$ на позицию первого различающегося бита) разбирается аналогично, но на самом деле он не нужен, ведь в нем ответ не станет меньше, а $$$x$$$ станет больше.

Асимптотика: $$$O(\log (10^{18}))$$$ на набор входных данных.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxb = 60;

bool get_bit(int64_t a,int i)
{
    return a&(1ll<<i);
}

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int64_t a,b,r;
        cin >> a >> b >> r;
        int64_t x = 0;
        bool first_bit = 1;
        if(a > b)
            swap(a,b);
        for(int i = maxb-1;i >= 0;--i)
        {
            bool bit_a = get_bit(a,i);
            bool bit_b = get_bit(b,i);
            if(bit_a != bit_b)
            {
                if(first_bit)
                {
                    first_bit = 0;
                }
                else
                {
                    if(!bit_a && x+(1ll<<i) <= r)
                    {
                        x += (1ll<<i);
                        a ^= (1ll<<i);
                        b ^= (1ll<<i);
                    }
                }
            }
        }
        cout << b-a << "\n";
    }
}

Давайте сделаем бинарный поиск по ответу. Пусть мы знаем, что минимальная возможная стоимость не меньше $$$l$$$ и не больше $$$r$$$. Выберем $$$m = (l+r)/2$$$. Нам надо научиться проверять, что ответ меньше или равен $$$m$$$. Будем делать $$$dp_i$$$, это минимальная сумма заблокированных элементов на префиксе до $$$i$$$, если позиция $$$i$$$ заблокирована и на каждом из подотрезков без заблокированных сумма элементов меньше или равна $$$m$$$. Тогда $$$dp_i = a_i + \min(dp_j)$$$ по всем $$$j$$$, таким, что сумма на подотрезке от $$$j+1$$$ до $$$i-1$$$ меньше или равна $$$m$$$. Такие $$$j$$$ образуют отрезок, так как $$$a_j$$$ положительны. Будем поддерживать границы этого отрезка. Также будем поддерживать все $$$dp_j$$$ для $$$j$$$ внутри этого подотрезка в сете. При переходе от $$$i$$$ к $$$i+1$$$ нужно двигать левую границу подотрезка, пока сумма на нем не станет меньше или равна $$$m$$$, и удалять $$$dp_j$$$ из сета, а также добавлять в конец подотрезка $$$i$$$ и $$$dp_i$$$ в сет. Минимальную сумму заблокированных при условии, что на всех подотрезках без заблокированных сумма меньше или равна $$$m$$$, можно найти как минимум среди всех $$$dp_i$$$, таких что сумма от $$$i$$$ до $$$n$$$ меньше или равна $$$m$$$. Если этот ответ меньше или равен $$$m$$$, то и ответ на задачу меньше или равен $$$m$$$, иначе ответ больше $$$m$$$.

Асимптотика: $$$O(n \log n \log 10^9)$$$ на набор входных данных.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        int64_t a[n+1];
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            cin >> a[i];
        }
        int64_t l = 0,r = int64_t(1e9)*n;
        while(l < r)
        {
            int64_t m = (l+r)/2;
            set<pair<int64_t,int>> pos;
            int64_t dp[n+1];
            int p2 = n;
            dp[n] = 0;
            pos.insert({dp[n],n});
            int64_t sum = 0;
            for(int j = n-1;j >= 0;--j)
            {
                while(sum > m)
                {
                    sum -= a[p2-1];
                    pos.erase({dp[p2],p2});
                    p2--;
                }
                dp[j] = pos.begin()->first + a[j];
                pos.insert({dp[j],j});
                sum += a[j];
            }
            sum = 0;
            int yes = 0;
            for(int j =0;j < n;++j)
            {
                if(sum <= m && dp[j] <= m)
                    yes = 1;
                sum += a[j];
            }
            if(yes)
                r = m;
            else
                l = m+1;
        }
        cout << l << "\n";
    }
}

Рандомизированное решение: Будем делать алгоритм быстрой сортировки (quicksort). Выберем рандомный элемент массива, пусть его индекс $$$i$$$, будем делать $$$?$$$ $$$i$$$, пока не получим ответ $$$=$$$ (то есть $$$x = a_i$$$). Теперь будем спрашивать про все остальные элементы, тем самым узнавая, больше они $$$a_i$$$ или меньше (надо не забывать возвращать $$$x = a_i$$$, то есть делать $$$?$$$ $$$i$$$ после каждого запроса про элемент), после этого разобьем все элементы на две части, где $$$a_i > x$$$ и $$$a_i < x$$$. В каждой части запустимся рекурсивно. Части будут становиться все меньше и меньше, в итоге мы отсортируем нашу перестановку, что позволит нам ее отгадать.

Нерандомизированное решение: Найдем элемент $$$1$$$ в массиве за $$$3n$$$ запросов. Для этого пройдемся по массиву, спрашивая каждый раз про очередной элемент. Если ответ $$$<$$$, то продолжим спрашивать, пока ответ не станет $$$=$$$, если ответ $$$=$$$ или $$$>$$$, перейдем к следующему. Тогда последний элемент, на котором был ответ $$$<$$$, и есть $$$1$$$. Число $$$x$$$ в процессе увеличится максимум на $$$n$$$ (от каждого элемента максимум по $$$1$$$), значит, уменьшится максимум на $$$2n$$$, то есть максимум $$$3n$$$ запросов. Аналогично найдем элемент $$$n$$$. Теперь запустим алгоритм аналогичный рандомизированному решению, только теперь мы можем сделать $$$x = n/2$$$, а не взять $$$x$$$ как рандомный элемент.

Оба решения с запасом укладываются в ограничение $$$40n$$$ запросов.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

mt19937 rnd(593);

char query(int i)
{
    cout << "? " << i+1 << endl;
    char c;
    cin >> c;
    return c;
}

void quicksort(vector<int> &a,vector<int> &ord)
{
    if(a.size() == 0)
        return ;
    int mid = rnd()%a.size();
    while(query(a[mid]) != '=')
        ;
    vector<int> l,r;
    for(int i = 0;i < a.size();++i)
    {
        if(i == mid)
            continue;
        if(query(a[i]) == '<')
        {
            l.push_back(a[i]);
        }
        else
        {
            r.push_back(a[i]);
        }
        query(a[mid]);
    }
    vector<int> l_ord;
    vector<int> r_ord;
    quicksort(l,l_ord);
    quicksort(r,r_ord);
    for(int i = 0;i < l_ord.size();++i)
    {
        ord.push_back(l_ord[i]);
    }
    ord.push_back(a[mid]);
    for(int i = 0;i < r_ord.size();++i)
    {
        ord.push_back(r_ord[i]);
    }
    return ;
}


int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> a;
        vector<int> ord;
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            a.push_back(i);
        }
        quicksort(a,ord);
        cout << "! ";
        vector<int> ans(n);
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            ans[ord[i]] = i;
        }
        for(int i = 0;i < n;++i)
        {
            cout << ans[i]+1 << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
}

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

char query(int pos)
{
    cout << "? " << pos << endl;
    char ans;
    cin >> ans;
    return ans;
}

void dnq(int l,int r,vector<int> pos,vector<int> & res,int pos1,int posn)
{
    int m = (l+r)/2;
    vector<int> lh;
    vector<int> rh;
    for(int i = 0;i < pos.size();++i)
    {
        char x = query(pos[i]);
        if(x == '>')
        {
            rh.push_back(pos[i]);
            query(pos1);
        }
        else if(x == '<')
        {
            lh.push_back(pos[i]);
            query(posn);
        }
        else
        {
            res[pos[i]] = m;
        }
    }
    if(lh.size() != 0)
    {
        int m2 = (l+m-1)/2;
        for(int j = 0;j < m-m2;++j)
            query(pos1);
        dnq(l,m-1,lh,res,pos1,posn);
        query(posn);
    }
    if(rh.size() != 0)
    {
        int m2 = (m+1+r)/2;
        for(int j = 0;j < m2-m;++j)
            query(posn);
        dnq(m+1,r,rh,res,pos1,posn);
    }
    return ;
}


int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        int pos1 = -1;
        for(int i = 1;i <= n;++i)
        {
            char ans = query(i);
            if(ans == '<')
            {
                i--;
            }
            else if(ans == '=')
            {
                pos1 = i;
            }
            else
            {
                if(pos1 != -1)
                {
                    query(pos1);
                }
            }
        }
        int posn = -1;
        for(int i = 1;i <= n;++i)
        {
            char ans = query(i);
            if(ans == '>')
            {
                i--;
            }
            else if(ans == '=')
            {
                posn = i;
            }
            else
            {
                if(posn != -1)
                {
                    query(posn);
                }
            }
        }
        vector<int> res(n+1);
        vector<int> pos(n);
        for(int j = 0;j < n;++j)
            pos[j] = j+1;
        int m = (1+n)/2;
        for(int k = 0;k < n-m;++k)
        {
            query(pos1);
        }
        dnq(1,n,pos,res,pos1,posn);
        cout << "! ";
        for(int j = 1;j <= n;++j)
            cout << res[j] << ' ';
        cout << endl;
    }
}

Вначале можно заметить, что достаточно посетить все листья дерева. Ведь если гусеница пропустит какую-то внутреннюю вершину, то она никак не сможет попасть в поддерево этой вершины и посетить листья в нём. Поэтому нет смысла телепортироваться в корень не из листа (иначе было бы выгоднее переместиться в корень на ход раньше, и все листья остались бы посещёнными).

Оптимальный путь гусеницы по дереву можно разбить на перемещения из корня в лист, перемещения из одного листа в другой и телепортации из листа в корень. Пусть зафиксирован порядок посещения листьев в оптимальном пути. Тогда из последнего листа телепортироваться нет смысла, ведь все листья уже посещены. Кроме того, невыгодно двигаться не по кратчайшему пути на участках перехода из корня в лист без посещения других листьев, или перемещения из листа в лист без посещения других листьев. Если после листа $$$u$$$ посещается лист $$$v$$$, то телепортация из $$$u$$$ экономит время перехода из $$$u$$$ в $$$v$$$ минус время движения в $$$v$$$ из корня. Можно выбрать $$$k$$$ листьев, без последнего посещённого листа, которые дают максимальную экономию (если листьев в дереве меньше, или экономия становится отрицательной, то взять меньше $$$k$$$ листьев), и сделать телепортацию из них. Так, если известен порядок посещения листьев, можно найти оптимальное время.

Оказывается, что если взять дерево и отсортировать потомков каждой вершины по возрастанию (не убыванию) глубины поддерева, а потом выписать все листья слева направо (в порядке обхода в глубину), то это и будет один из оптимальных порядков листьев. Такой порядок сортировки дерева и листьев в нём будет называться порядком сортировки по глубине поддерева.

Можно отсортировать дерево таким образом одним обходом в глубину. Для каждого листа можно вычислить, сколько времени экономит телепортация из него. Для этого достаточно двигаться из этого листа к корню до первой развилки, для которой предыдущая вершина не самый правый потомок. Тогда экономия — длина пройденного пути минус оставшееся расстояние до корня. Такие пути для разных листьев не пересекаются по рёбрам, а оставшееся расстояние до корня можно преподсчитать в поиске в глубину сразу для всех. Поэтому алгоритм работает за время $$$O(n \log n)$$$, здесь логарифм появляется из-за сортировки потомков каждой вершины по глубине поддерева.

Теорема.

Существует кратчайший маршрут гусеницы, в котором листья посещаются в порядке сортировки потомков каждой вершины по глубине поддерева.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 200005;
int d[maxn];
int h[maxn];
int p[maxn];
vector<int> leaf_jump_gains;
vector<vector<int> > children;

bool comp_by_depth(int u,int v)
{
    return d[u] < d[v];
}

void sort_subtrees_by_depth(int v)
{
    d[v] = 0;
    if(v == 1)
        h[v] = 0;
    else
        h[v] = h[p[v]]+1;
    for(int i = 0; i < int(children[v].size()); ++i)
    {
        int u = children[v][i];
        sort_subtrees_by_depth(u);
        d[v] = max(d[v],d[u]+1);
    }
    sort(children[v].begin(),children[v].end(),comp_by_depth);
}

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    children.resize(n+1);
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        cin >> p[i];
        children[p[i]].push_back(i);
    }
    sort_subtrees_by_depth(1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(children[i].size() == 0)
        {
            int jump_gain = 0;
            int v = i;
            while(v != 1)
            {
                int s = children[p[v]].size();
                if(children[p[v]][s-1] == v)
                {
                    v = p[v];
                    ++jump_gain;
                }
                else
                {
                    jump_gain = jump_gain+1-h[p[v]];
                    break;
                }
            }
            leaf_jump_gains.push_back(jump_gain);
        }
    }
    sort(leaf_jump_gains.begin(),leaf_jump_gains.end());
    int s = leaf_jump_gains.size();
    ++k; //non-returning from the last leaf is like one more jump
    int res = 2*(n-1);
    for(int i = s-1; i >= max(0,s-k); --i)
        res -= max(leaf_jump_gains[i],0);
    cout << res << '\n';
    return 0;
}

Вначале можно вручную подобрать ответы для маленьких значений $$$n$$$. Для $$$n = 2,4,6$$$ получится ответ "YES" и массивы $$$[-1,1], [-1,-2,2,1], [-1,-2,2,1,-1,1]$$$. Несложно доказать разбором случаев, что для $$$3$$$ и $$$5$$$ ответ "NO". Можно предположить, что для всех нечётных $$$n$$$ ответ "NO", но если попробовать доказать отсутствие массива или подобрать массив для $$$n = 7$$$, окажется, что массив существует: $$$[-5, 8, 1, -3, -4,-2, 5]$$$. На самом деле, массив существует для всех $$$n$$$, кроме $$$3$$$ и $$$5$$$.

Было бы просто, если бы можно было сделать, чтобы число в каждой ячейке не менялось. Но наличие краёв массива и запрет на нули делают это невозможным. Дальше, можно заметить, что бесконечный массив, в котором повторяется шестёрка чисел $$$1, -3, -4, -1, 3, 4$$$, порождает в каждой ячейке то же число, которое там было. Вообще таким свойством будет обладать любая шестёрка чисел вида $$$a,-b,-a-b,-a,b,a+b$$$. Так можно переводить внутренние ячейки массива в ячейки с такими же числами, вопрос в том, что делать на краях. В авторском решении были вручную подобраны подходящие края (возможно, из нескольких чисел) для каждого остатка от деления на $$$6$$$. А дальше решение для каждого значения $$$n$$$ создавалось так: взять края для $$$n \mod 6$$$ и вставить в середину столько шестёрок чисел, переходящих в себя, сколько потребуется.

Решение green_gold_dog:

Идея в том, что любой правильный массив можно увеличить на $$$2$$$ элемента, чтобы массив остался правильным. Пусть массив заканчивается на числа $$$a$$$ и $$$b$$$. Тогда его можно увеличить на два элемента так: \begin{equation*} [\ldots,\;a,\;b] \to [\ldots, a,\; b,\; -b,\; a-b] \end{equation*} Этот массив переходит в свою перестановку: весь старый массив, кроме $$$a$$$, порождается старым массивом; в последних трёх ячейках порождаются $$$a-b$$$, $$$a$$$, $$$-b$$$, то есть два новых элемента, и пропавший элемент $$$a$$$. Ещё нужно, чтобы новые элементы были не нулями. Если последние два элемента старого массива были разными, то новые элементы не нули, кроме того, новые элементы не могут оказаться одинаковыми, так как $$$a$$$ и $$$b$$$ не нули, поэтому эту операцию можно повторять много раз.

Чтобы стартовать, достаточно два массива: $$$[1,2]$$$ для $$$n = 2$$$ и $$$[1,2,-3,2,4,-5,-2]$$$ для $$$n = 7$$$. Дальше можно удлинять эти массивы на $$$2$$$, чтобы получить ответ для чётного или нечётного $$$n$$$.

Оба решения печатают массив по простым правилам и работают за $$$O(n)$$$ времени.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    if(n%6 == 0)
    {
        cout << "YES\n";
        cout << "2 1 -1 ";
        for(int j = 0;j < n/6-1;++j)
        {
            cout << "1 -1 -2 -1 1 2 ";
        }
        cout << "1 -1 -2" << "\n";
        return 0;
    }
    else if(n%6 == 1)
    {
        cout << "YES\n";
        cout << "-5 8 1 -3 -4 ";
        for(int j = 0;j < n/6-1;++j)
        {
            cout << "-1 3 4 1 -3 -4 ";
        }
        cout << "-2 5" << "\n";
        return 0;
    }
    else if(n%6 == 2)
    {
        cout << "YES\n";
        for(int j = 0;j < n/6;++j)
        {
            cout << "1 -1 -2 -1 1 2 ";
        }
        cout << "1 -1" << "\n";
        return 0;
    }
    else if(n%6 == 3)
    {
        if(n == 3)
            cout << "NO\n";
        else
        {
            cout << "YES\n";
            cout << "2 1 1 -3 -4 -1 3 ";
            for(int j = 0;j < n/6-1;++j)
            {
                cout << "4 1 -3 -4 -1 3 ";
            }
            cout << "3 -2" << "\n";
            return 0;
        }
    }
    else if(n%6 == 4)
    {
        cout << "YES\n";
        for(int j = 0;j < n/6;++j)
        {
            cout << "1 -1 -2 -1 1 2 ";
        }
        cout << "1 -1 1 2" << "\n";
        return 0;
    }
    else if(n%6 == 5)
    {
        if(n == 5)
        {
            cout << "NO\n";
        }
        else
        {
            cout << "YES\n";
            cout << "-2 1 1 -3 -4 -1 3 ";
            for(int j = 0;j < n/6-1;++j)
            {
                cout << "4 1 -3 -4 -1 3 ";
            }
            cout << "2 -1 2 4" << "\n";
            return 0;
        }
    }

}

//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("avx,avx2,sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,abm,popcnt,mmx")
#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef complex<double> cd;
 
constexpr ll INF64 = 9'000'000'000'000'000'000, INF32 = 2'000'000'000, MOD = 1'000'000'007;
constexpr db PI = acos(-1);
constexpr bool IS_FILE = false, IS_TEST_CASES = false;
 
random_device rd;
mt19937 rnd32(rd());
mt19937_64 rnd64(rd());
 
template<typename T>
bool assign_max(T& a, T b) {
	if (b > a) {
		a = b;
		return true;
	}
	return false;
}
 
template<typename T>
bool assign_min(T& a, T b) {
	if (b < a) {
		a = b;
		return true;
	}
	return false;
}
 
template<typename T>
T square(T a) {
	return a * a;
}
 
template<>
struct std::hash<pair<ll, ll>> {
	ll operator() (pair<ll, ll> p) const {
		return ((__int128)p.first * MOD + p.second) % INF64;
	}
};
 
void solve() {
	ll n;
	cin >> n;
	if (n == 5 || n == 3) {
		cout << "NO\n";
		return;
	}
	cout << "YES\n";
	vector<ll> arr;
	if (n % 2 == 0) {
		arr.push_back(1);
		arr.push_back(2);
	} else {
		arr.push_back(1);
		arr.push_back(2);
		arr.push_back(-3);
		arr.push_back(2);
		arr.push_back(4);
		arr.push_back(-5);
		arr.push_back(-2);
	}
	while (arr.size() != n) {
		ll x = arr[arr.size() - 2];
		ll y = x - arr.back();
		ll z = y - x;
		arr.push_back(z);
		arr.push_back(y);
	}
	for (auto i : arr) {
		cout << i << ' ';
	}
	cout << '\n';
}
 
int main() {
	if (IS_FILE) {
		freopen("", "r", stdin);
		freopen("", "w", stdout);
	}
    	ios_base::sync_with_stdio(false);
    	cin.tie(0);
    	cout.tie(0);
	ll t = 1;
	if (IS_TEST_CASES) {
		cin >> t;
	}
	for (ll i = 0; i < t; i++) {
		solve();
	}
}