На прошедшем IZhO по математике дали необычные задачи, многие из которых затроллили большинство участников. P2 решалась трюком, многие не справились. Я тоже не справился, во время тура действовал слишком технично, не помогло. Мое приближение было попыткой зажать искомое число между заданными, что является более сильным утверждением (но как оказалось эквивалентным), которое я смог доказать после тура.
Условие.
Пусть $$$n$$$ — положительное целое число, для которого существуют положительные целые $$$a$$$ и $$$b$$$, такие что
Доказать, что существует положительное целое число $$$c$$$, для которого
Официальное решение
Обозначим
Складывая, имеем
откуда
Мое решение
Идея.
- ищем такие $$$x_c$$$, которые зажаты между $$$a\sqrt{10}$$$ и $$$b\sqrt{11}$$$;
- доказываем, что такое $$$c$$$ существует и единственно;
- показываем, что для остальных $$$c$$$ равенство целых частей невозможно.
Обозначим
Шаг 1. Условие зажатости
Если
то немедленно следует
Это эквивалентно неравенству
Вычислим разности:
Так как знаменатель положителен, получаем эквивалентное условие
Следовательно,
где
Шаг 2. Единственность целого решения
Длина отрезка равна
Из условий имеем
поэтому
Значит, в $$$[L, R]$$$ может лежать не более одного целого числа.
При этом
откуда
Следовательно,
— единственное целое решение, необходимые и достаточные условия проверили.
Шаг 3. Отсутствие других решений
Из неравенства $$$b\sqrt{11} - a\sqrt{10} \lt 1$$$ следует
Тогда
Следовательно,
то есть
Аналогично,
Значит, других значений $$$c$$$ не существует.
