Можно было перебирать каждую позицию и проверять подходит ли она под условия a ≤  i - 1 и n - i ≤ b (для i от 1 до n). Первое условие можно преобразовать в a + 1 ≤ i, а условие n - i ≤ b в n - b ≤ i, тогда общее условие можно записать max(a + 1, n - b) ≤ i и тогда наш ответ можно вычислить по формуле n - max(a + 1, n - b) + 1.
Авторское решение

Пробуем всеми возможными способами переставить цифры в числах и для каждой перестановки проверяем разницу между максимальным и минимальным числом.
Авторское решение

Все позиции кроме первой и тех, чей номер простое число большее |s| / 2 должны иметь одинаковый символ. Оставшиеся же позиции могут быть любыми. Как это показать: рассмотрим позиции, которые должны совпадать для p = 2 это 2,4,6,8... теперь возьмем позицию с номером x ≤ |s| / 2, эта позиция должна иметь тот же символ что и на позиции 2, так как символ x должен быть равен символу на позиции 2 * x, который в свою очередь равен символу на позиции 2. Теперь рассмотрим позиции, чей номер больше чем |s| / 2. Если эта позиция имеет номер не простое число значит есть простое число p на которое делится номер нашей позиции и p ≤ |s| / 2. Символ в позиции p равен символу в позиции 2, так как p ≤ |s| / 2 значит и символ в нашей позиции также соответствует символу в позиции 2. Оставшиеся же позиции не объединяются ни с какими другими позициями поэтому символ который стоит в них ни на что не влияет.
Найдем символ который встречается максимальное количество раз и пробуем этот символ расставить на позиции символы в которых должны быть равны. Если этого символа на все позиции не хватает тогда ответ "NO", иначе оставшиеся символы расставляем как угодно на остальные позиции.
Авторское решение

Повернем поле на 45^o преобразовав координаты клетки (x, y) в (x + y, x - y). Тогда клетка (x, y) будет плохой, если будет выполняться одно из условий x ≡ 0 (mod 2a) или y ≡ 0 (mod 2b). Т.е. неплохие клетки будут разбиты на сектора вертикальными и горизонтальными прямыми. Для каждого сектора можно определить его координаты парой чисел, первое число которое будет увеличиваться при переходе в соседний правый сектор, а второе число пары будет увеличиваться при переходе в соседний верхний сектор. Из сектора с координатами (x, y) можно перейти в любой соседний по стороне сектор, посетив минимум 1 плохую клетку, т.е. в (x - 1, y), (x + 1, y), (x, y - 1) и (x, y + 1). Так как числа 2a и 2b имеют одинаковую четность, то из сектора (x, y) также можно перейти в сектор по диагонали, посетив также 1 плохую клетку, т.е. в (x - 1, y + 1), (x + 1, y - 1), (x - 1, y - 1) и (x + 1, y + 1). Тогда получается что минимальное количество плохие клеток, которые должны быть посещены по пути из сектора (x1, y1) в сектор (x2, y2) будет равно max(|x1 - x2|, |y1 - y2|).
Преобразуем координаты начальной и конечной клеток по вышеописанному правилу. Потом найдем в каких секторах находятся наши клетки и вычислим ответ по вышеописанной формуле.
Авторское решение

Для начало сведем задачу к одномерной матрицы. Рассмотрим монотонный путь (1, 1), (1, 2), ..., (1, m - 1), (1, m), (2, m), ..., (n - 1, m), (n, m) по которому получается правильная скобочная последовательность. Теперь в этом пути можно заменить клетку (1, m) на (2, m - 1) и по прежнему путь будет монотонным и будет образовывать правильную скобочную последовательность. Значит в клетках (1, m) и (2, m - 1) стоит скобка одного типа. Продолжая так дальше ( например заменить (1, m - 1) на (2, m - 2) или (2, m) на (3, m - 1)) можно увидеть, что в клетках (i, j) и (i - 1, j + 1) стоит скобка одного типа. Тогда у нас получается не двумерный массив n × m, а одномерный размером n + m - 1. Для каждой позиции можно определить какой у неё наибольший приоритет, т.е. для клетки i (1 ≤ i ≤ n + m - 1) приоритет будет равен минимальному значению p_x, y где 1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m и x + y - 1 = i.
Теперь перебираем позиции, начиная с наиболее приоритетных. Ставим в эту позицию скобку "(" и считаем сколькими способами можно доставить оставшиеся скобки, чтобы получалась правильная скобочная последовательность. Если количество способов не меньше k, тогда оставляем в этой позиции скобку "(", иначе уменьшаем k на количество способов и ставим в эту позицию скобку ")". И так проходим по всем позициям. Для того чтобы посчитать количество способов каждый раз просчитывается динамика по двум параметрам f_i, j, где i количество обработанных позиций, а j количество открытых скобок. Если на позиции i + 1 скобка ещё не определена тогда можно перейти в f_{i + 1, j + 1} или  f_{i + 1, j - 1}, если же определена тогда только в f_{i + 1, j + 1} или только f_{i + 1, j - 1} в зависимости открывающаяся или закрывающаяся скобка соответственно.
Авторское решение

Отсортируем все суффиксы строки (обозначим как массив строк c_i). Тогда ответ на задачу будет количество таких 1 ≤ i ≤ j ≤ |s| и 1 ≤ k, что префиксы длины k у всех строк с_i..j равны. Варианты когда i = j и 1 ≤ k ≤ |c_i| можно просчитать сразу, это равно количеству подстрок в строке, т.е. |s| * (|s| + 1) / 2. Теперь посчитаем LCP (самый длинный общий префикс) для соседних суффиксов, т.е. a_i = LCP(c_i, c_i + 1) для 1 ≤ i < |s|. Тогда теперь надо посчитать количество таких 1 ≤ i ≤ j < |s| и 1 ≤ k, что k ≤ min(a_i..j). Эта задача на подсчет количества прямоугольников, если есть ограничение на высоту в каждом столбце, т.е. a_i максимальная высота прямоугольника в столбце i. Решается при помощи стека или списка.
Авторское решение

Рассмотрим чему равно матожидание для фиксированного входа и выхода. Понятно что из входа в выход будет существовать всего лишь один путь, который в любом случае будет пройден. Также ещё можно пойти в неправильном направлении. Рассмотри случай когда выбрана вершина, из которой есть k ложных путей и один верный (он есть всегда). Тогда перед тем как пойти в верном направлении возможно 2^k равновероятных способов обхода ложных путей. Каждый ложный путь входить в 2^k - 1 способов и увеличивает количество ходов на 2 ×  < размер ложного поддерева >  т.е. матожидание от ложного пути увеличиться на 2 ×  < размер ложного поддерева >  × 2^k - 1 / 2^k =  < размер ложного поддерева > . Тогда матожидание в вершине равно сумме  < размеров ложных поддеревьев >  + 1 (это ход в верном направлении) +  матожидание от вершины в которую пойдем, идя в верном направлении. В итоге получается, что матожидание равно количеству достижимых ребер из входа, не проходя через выход.
Запустим обход в глубину и каждую вершину рассматривать как вершину выхода. Тогда если в каком-то поддереве определяется вход, то матожидание равно размеру этого поддерева. Просчитываем сколько в каждом поддереве будет количество входов и вычисляем количество ходов, если выход находится в текущей вершине. Также надо не забыть просчитать случаи когда текущая вершина является выходом, а вход расположен выше по обходу дерева.
Авторское решение

Будет ли сегодня проводиться тренировка?